Um ponto P do plano se move de modo que a soma dos quadrados de suas distâncias a dois pontos fixos A e B é uma constante k>0. Determine a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto P e identifique-o.
Sugestão: Seja a=d(A, B). Considere o sistema de coordenadas com o eixo x sendo a reta que passa por A e B, com origem A e orientada de A para B. Neste sistema de coordenadas, temos A=(0,0), B=(a, 0) e P=(x, y). Você deve considerar os casos: k<\frac{a^{2}}{2}, k=\frac{a^{2}}{2} e k>\frac{a^{2}}{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que a soma dos quadrados das distâncias de P a dois pontos fixos A e B é uma constante positiva k. Foi dada a sugestão: tomar o eixo x na reta AB, com origem em A e orientação de A para B. Assim, as informações que vou usar são:
  • a=d(A,B) (distância entre A e B);
  • no sistema de coordenadas sugerido: A=(0,0), B=(a,0) e P=(x,y);
  • a condição do lugar é \,PA^{2}+PB^{2}=k, com k>0;
  • devo tratar os três casos \,k<\dfrac{a^{2}}{2}, \,k=\dfrac{a^{2}}{2} e \,k>\dfrac{a^{2}}{2}.

Passo 2

Vou escrever a condição \,PA^{2}+PB^{2}=k em coordenadas. As distâncias ao quadrado são
PA^{2}=x^{2}+y^{2}, \qquad PB^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}.
Somando:
PA^{2}+PB^{2}=x^{2}+y^{2}+(x-a)^{2}+y^{2}=2x^{2}-2ax+a^{2}+2y^{2}.
A equação da condição fica então
2x^{2}-2ax+a^{2}+2y^{2}=k.

Passo 3

Para obter uma forma reconhecível (circulo etc.), divido por 2 e reorganizo:
x^{2}-ax+y^{2}+\frac{a^{2}}{2}=\frac{k}{2}.
Isolo os termos em x e completo o quadrado em x. Lembro que completar o quadrado para x^{2}-ax é adicionar e subtrair \dfrac{a^{2}}{4}, pois
x^{2}-ax+\frac{a^{2}}{4}=\bigl(x-\frac{a}{2}\bigr)^{2}.
Aplicando isso à equação:
\bigl(x-\frac{a}{2}\bigr)^{2}-\frac{a^{2}}{4}+y^{2}+\frac{a^{2}}{2}=\frac{k}{2}.
Agora somo os termos constantes do lado esquerdo:
-\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{2}=\frac{a^{2}}{4}.
Logo a equação fica
\bigl(x-\frac{a}{2}\bigr)^{2}+y^{2}=\frac{k}{2}-\frac{a^{2}}{4}.

Passo 4

A equação obtida tem a forma padrão de um círculo:
\bigl(x-\frac{a}{2}\bigr)^{2}+y^{2}=R^{2}, \qquad\text{com}\qquad R^{2}=\frac{k}{2}-\frac{a^{2}}{4}=\frac{2k-a^{2}}{4}.
Portanto, geometricamente, o lugar é um círculo com centro no ponto \bigl(\tfrac{a}{2},0\bigr), isto é, no ponto médio de AB, e raio R=\sqrt{\dfrac{k}{2}-\dfrac{a^{2}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2k-a^{2}}}{2}, desde que R^{2}\ge 0.

Passo 5

Preciso agora considerar os três casos indicados, olhando para o sinal de R^{2}=\dfrac{2k-a^{2}}{4}.
  • Se \,k>\dfrac{a^{2}}{2} então 2k-a^{2}>0, logo R^{2}>0. O lugar é, portanto, um círculo de centro no ponto médio de AB e raio R=\dfrac{\sqrt{2k-a^{2}}}{2}.
  • Se \,k=\dfrac{a^{2}}{2} então 2k-a^{2}=0, logo R^{2}=0. Nesse caso o “círculo” reduz-se a um único ponto: o centro \bigl(\tfrac{a}{2},0\bigr), ou seja, o ponto médio de AB.
  • Se \,k<\dfrac{a^{2}}{2} então 2k-a^{2}<0, logo R^{2}<0. Não existem pontos reais (x,y) satisfazendo a equação (pois soma de dois quadrados não pode ser negativa), portanto o lugar geométrico é o conjunto vazio.

Passo 6

Para reforçar a intuição: existe uma identidade útil (que pode ser verificada expandindo) que mostra o mínimo possível de PA^{2}+PB^{2} para pontos P:
PA^{2}+PB^{2}=2\Bigl(\bigl(x-\frac{a}{2}\bigr)^{2}+y^{2}\Bigr)+\frac{a^{2}}{2}.
Dessa expressão vê-se imediatamente que o mínimo ocorre em x=\tfrac{a}{2},y=0 (o ponto médio), e o valor mínimo é \dfrac{a^{2}}{2}. Por isso não há soluções para k<\dfrac{a^{2}}{2}, há exatamente o ponto médio para k=\dfrac{a^{2}}{2} e círculos para k>\dfrac{a^{2}}{2}.

Resposta

Para k<\dfrac{a^{2}}{2}: nenhum ponto (lugar vazio).
Para k=\dfrac{a^{2}}{2}: o lugar é o ponto médio de AB, isto é \bigl(\tfrac{a}{2},0\bigr).
Para k>\dfrac{a^{2}}{2}: o lugar é o círculo de centro \bigl(\tfrac{a}{2},0\bigr) e raio R=\dfrac{\sqrt{2k-a^{2}}}{2}, cuja equação é
\bigl(x-\tfrac{a}{2}\bigr)^{2}+y^{2}=\frac{k}{2}-\frac{a^{2}}{4}.

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