Um ponto
do plano se move de modo que a soma dos quadrados de suas distâncias a dois pontos fixos
e
é uma constante
. Determine a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto P e identifique-o.
Sugestão: Seja
. Considere o sistema de coordenadas com o eixo
sendo a reta que passa por
e
, com origem
e orientada de
para
. Neste sistema de coordenadas, temos
e
. Você deve considerar os casos:
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o lugar geométrico dos pontos
do plano tais que a soma dos quadrados das distâncias de
a dois pontos fixos
e
é uma constante positiva
. Foi dada a sugestão: tomar o eixo
na reta
, com origem em
e orientação de
para
. Assim, as informações que vou usar são:
-
(distância entre e ); - no sistema de coordenadas sugerido:
, e ; - a condição do lugar é
, com ; - devo tratar os três casos
, e .
Passo 2
Vou escrever a condição
em coordenadas. As distâncias ao quadrado são
Somando:
A equação da condição fica então
Passo 3
Para obter uma forma reconhecível (circulo etc.), divido por
e reorganizo:
Isolo os termos em
e completo o quadrado em
. Lembro que completar o quadrado para
é adicionar e subtrair
, pois
Aplicando isso à equação:
Agora somo os termos constantes do lado esquerdo:
Logo a equação fica
Passo 4
A equação obtida tem a forma padrão de um círculo:
Portanto, geometricamente, o lugar é um círculo com centro no ponto
, isto é, no ponto médio de
, e raio
, desde que
.
Passo 5
Preciso agora considerar os três casos indicados, olhando para o sinal de
.
-
Se
então , logo . O lugar é, portanto, um círculo de centro no ponto médio de e raio . -
Se
então , logo . Nesse caso o “círculo” reduz-se a um único ponto: o centro , ou seja, o ponto médio de . -
Se
então , logo . Não existem pontos reais satisfazendo a equação (pois soma de dois quadrados não pode ser negativa), portanto o lugar geométrico é o conjunto vazio.
Passo 6
Para reforçar a intuição: existe uma identidade útil (que pode ser verificada expandindo) que mostra o mínimo possível de
para pontos
:
Dessa expressão vê-se imediatamente que o mínimo ocorre em
(o ponto médio), e o valor mínimo é
. Por isso não há soluções para
, há exatamente o ponto médio para
e círculos para
.
Resposta
Para
: nenhum ponto (lugar vazio).
Para : o lugar é o ponto médio de
, isto é
.
Para : o lugar é o círculo de centro
e raio
, cuja equação é
Para
Para