Determine o centro e o raio das circunferências cujas equações são dadas abaixo:
2 x^{2}+2 y^{2}+12 y+4=0

Passo 1

O enunciado pede o centro e o raio da circunferência dada por 2x^2+2y^2+12y+4=0. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado e escrever a equação na forma padrão de circunferência:
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.

Passo 2

Dividimos todos os termos por 2 para simplificar:
x^2+y^2+6y+2=0.

Passo 3

Agrupamos os termos em y e completamos o quadrado:
x^2+(y^2+6y)+2=0
x^2+\bigl((y+3)^2-9\bigr)+2=0
x^2+(y+3)^2-7=0
x^2+(y+3)^2=7.

Passo 4

Comparando com (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, vemos que a=0, b=-3 e r^2=7. Logo, o centro é (0,-3) e o raio é \sqrt{7}.

Resposta

O centro é (0,-3) e o raio é \sqrt{7}.

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