Determine a equação geral da parábola em cada caso:
a) V(1,-2) é o vértice e a reta y=-4

Passo 1

O enunciado pede a equação geral da parábola cujo vértice é V(1,-2) e cuja diretriz é a reta y=-4. O conteúdo aqui é geometria analítica de parábolas, em que usaremos a forma canônica de vértice e a relação entre vértice, foco e diretriz.

Passo 2

Em coordenadas, a parábola com vértice (h,k) que abre para cima ou para baixo é dada por
(x - h)^2 = 4p\,(y - k),
onde p é a distância do vértice ao foco (positiva se abrir para cima, negativa se abrir para baixo) e a diretriz é a reta
y = k - p.

Passo 3

Aqui (h,k)=(1,-2) e a diretriz é y=-4. Logo, basta igualar
k - p = -4
ou seja,
-2 - p = -4 \quad\Longrightarrow\quad -p = -2 \quad\Longrightarrow\quad p = 2.

Passo 4

Substituindo h=1, k=-2 e p=2 na forma canônica, obtemos
(x - 1)^2 = 4\cdot 2\,(y + 2) \quad\Longrightarrow\quad (x - 1)^2 = 8\,(y + 2).

Passo 5

Para passar à forma geral, expandimos:
(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1,
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x^2 - 2x + 1 = 8y + 16
e isolando tudo no lado esquerdo,
x^2 - 2x - 8y - 15 = 0.

Resposta

A equação geral da parábola é
x^2 - 2x \;-\; 8y \;-\; 15 \;=\; 0.

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