Determine todos os valores inteiros de k para os quais as séries alternadas abaixo convergem.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt[8]{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{\sqrt[8]{n}}.
O que se pede é decidir se essa série converge ou diverge (e, se converge, verificar se é convergência absoluta ou apenas condicional). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral (em módulo) é a_n=\dfrac{1}{\sqrt[8]{n}}=n^{-1/8}.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^n.

Passo 2

Lembrete didático: dois conceitos importantes de convergência para séries com sinais são:
  • Convergência absoluta: uma série \sum u_n converge absolutamente se a série dos módulos \sum |u_n| converge.
  • Convergência condicional: \sum u_n converge, mas \sum |u_n| diverge.
Ferramenta central que vamos usar (teste de Leibniz ou critério da série alternada):
Se (a_n) é uma sequência de números positivos tal que
  1. a_{n+1}\le a_n para todo n grande o suficiente (ou seja, (a_n) é eventualemente não crescente),
  2. \lim_{n\to\infty} a_n = 0,
    então a série alternada \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n converge.
Vou aplicar esse critério a a_n=n^{-1/8}. Também vou checar a convergência da série absoluta \sum a_n usando o teste da p-série.

Passo 3

Verificar que a_n\to 0.
a_n = n^{-1/8}.
Como n^{-1/8} tende a 0 quando n\to\infty (qualquer potência negativa de n tende a zero), tem-se
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicando devagar: n^{1/8}\to\infty quando n\to\infty, logo o inverso n^{-1/8} vai para zero.

Passo 4

Verificar que (a_n) é decrescente (eventualmente não crescente).
Compare a_{n+1} com a_n:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{-1/8}}{n^{-1/8}}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-1/8}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-1/8}.
Para todo n\ge1 tem-se 1+\dfrac{1}{n}>1, então \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-1/8}<1. Assim a_{n+1}<a_n para todo n. Portanto (a_n) é estritamente decrescente e positiva.

Passo 5

Aplicar o critério de Leibniz.
Como a_n>0, a_{n+1}\le a_n e \lim_{n\to\infty} a_n=0, pelo teste de Leibniz a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n^{-1/8}
converge. Portanto a série fornecida converge (pelo teste da série alternada).

Passo 6

Verificar convergência absoluta (teste da p-série).
A série dos módulos é
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^n n^{-1/8}\right|=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-1/8}.
Isto é uma p-série com p=\tfrac{1}{8}. O teste da p-série diz que \sum n^{-p} converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{1}{8}\le 1, logo
\sum_{n=1}^{\infty} n^{-1/8}
diverge. Portanto a série original NÃO converge absolutamente.

Passo 7

Conclusão combinando os resultados: a série alternada converge (pelo critério de Leibniz) mas não converge absolutamente (a série dos módulos diverge). Isso significa que a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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