Determine todos os valores inteiros de k para os quais as séries alternadas abaixo convergem. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt[8]{n}}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{\sqrt[8]{n}}.
O que se pede é decidir se essa série converge ou diverge (e, se converge, verificar se é convergência absoluta ou apenas condicional). Informações relevantes extraídas do enunciado:
O termo geral (em módulo) é a_n=\dfrac{1}{\sqrt[8]{n}}=n^{-1/8}.
A série é alternada por causa do fator (-1)^n.
Passo 2
Lembrete didático: dois conceitos importantes de convergência para séries com sinais são:
Convergência absoluta: uma série \sum u_n converge absolutamente se a série dos módulos \sum |u_n| converge.
Convergência condicional: \sum u_n converge, mas \sum |u_n| diverge.
Ferramenta central que vamos usar (teste de Leibniz ou critério da série alternada):
Se (a_n) é uma sequência de números positivos tal que
a_{n+1}\le a_n para todo n grande o suficiente (ou seja, (a_n) é eventualemente não crescente),
\lim_{n\to\infty} a_n = 0,
então a série alternada \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n converge.
Vou aplicar esse critério a a_n=n^{-1/8}. Também vou checar a convergência da série absoluta \sum a_n usando o teste da p-série.
Passo 3
Verificar que a_n\to 0.
a_n = n^{-1/8}.
Como n^{-1/8} tende a 0 quando n\to\infty (qualquer potência negativa de n tende a zero), tem-se
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicando devagar: n^{1/8}\to\infty quando n\to\infty, logo o inverso n^{-1/8} vai para zero.
Passo 4
Verificar que (a_n) é decrescente (eventualmente não crescente).
Compare a_{n+1} com a_n:
Para todo n\ge1 tem-se 1+\dfrac{1}{n}>1, então \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-1/8}<1. Assim a_{n+1}<a_n para todo n. Portanto (a_n) é estritamente decrescente e positiva.
Passo 5
Aplicar o critério de Leibniz.
Como a_n>0, a_{n+1}\le a_n e \lim_{n\to\infty} a_n=0, pelo teste de Leibniz a série alternada
Isto é uma p-série com p=\tfrac{1}{8}. O teste da p-série diz que \sum n^{-p} converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{1}{8}\le 1, logo
\sum_{n=1}^{\infty} n^{-1/8}
diverge. Portanto a série original NÃO converge absolutamente.
Passo 7
Conclusão combinando os resultados: a série alternada converge (pelo critério de Leibniz) mas não converge absolutamente (a série dos módulos diverge). Isso significa que a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).