Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{e^{n+d}}{n^{n}}(x-1)^{n}
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a série de potências
Aqui e^{d} é apenas uma constante multiplicativa (não depende de n) e o fator dominante que depende de n é \left(\dfrac{e}{n}\right)^{n}.
Passo 3
Lembrar e explicar a ferramenta que vamos usar para encontrar o raio de convergência.
Fórmula (consequência do teste da raiz para séries de potências): para uma série de potências
\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n
o raio de convergência R satisfaz
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Explicação simples: a ideia é aplicar o teste da raiz à série numérica obtida ao fixar x. O teste da raiz usa \limsup \sqrt[n]{|a_n (x-c)^n|} = |x-c| \limsup \sqrt[n]{|a_n|}, e a condição de convergência é que esse limite seja menor que 1. Isolando |x-c| obtemos a fórmula acima. O símbolo \limsup é o limite superior das raízes quando o limite pode não existir; aqui vai ser um limite simples.
No nosso caso o centro candidato é c=1 porque a série é em potências de (x-1).
Passo 4
Calcular \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} para os a_n do passo 2.
Aplicar a fórmula do raio usando o resultado do passo anterior.
Pela fórmula
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} = \frac{1}{0}.
Interpretando \dfrac{1}{0} neste contexto significa que o raio é infinito, ou seja, R=+\infty. Em outras palavras, não há restrição de x vinda do critério de convergência por raio finito: a série converge (absolutamente) para todo x\in\mathbb{R}.
Passo 6
Verificação direta da convergência absoluta para qualquer x (intuição e reforço didático).
Considere o termo geral da série (em módulo) para um x fixo:
\sqrt[n]{\text{módulo do termo}} = e^{d/n}\cdot\frac{e|x-1|}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.ó
Como para n suficientemente grande essa quantidade é menor que um número q<1, o teste da raiz garante que a série de termos absolutos converge (é uma série absolutamente convergente). Logo a série original converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}. Isso confirma o raio infinito e mostra que o intervalo de convergência é toda a reta.
Resposta
Centro: 1
Raio de convergência: +\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)