Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{e^{n+d}}{n^{n}}(x-1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{e^{n+d}}{n^{n}}(x-1)^{n}.
Vou listar claramente o que se pede e os dados que temos:
  • Pedidos: determinar o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência (no eixo real) da série.
  • Dados: a série é uma soma em potências de (x-1); há um parâmetro d (assumido constante) que aparece em e^{n+d}.
  • Observação útil (apenas identificação dos termos): o coeficiente geral da potência de ordem n é
a_n = (-1)^{n}\frac{e^{n+d}}{n^{n}}.

Passo 2

Reescrever o coeficiente a_n de forma que fique claro seu comportamento com n.
Começo fatorando e^{n+d}:
a_n = (-1)^{n}\frac{e^{n+d}}{n^{n}} = e^{d}\,(-1)^{n}\left(\frac{e}{n}\right)^{n}.
Isto mostra que, em módulo,
|a_n| = e^{d}\left(\frac{e}{n}\right)^{n}.
Aqui e^{d} é apenas uma constante multiplicativa (não depende de n) e o fator dominante que depende de n é \left(\dfrac{e}{n}\right)^{n}.

Passo 3

Lembrar e explicar a ferramenta que vamos usar para encontrar o raio de convergência.
Fórmula (consequência do teste da raiz para séries de potências): para uma série de potências
\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n
o raio de convergência R satisfaz
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Explicação simples: a ideia é aplicar o teste da raiz à série numérica obtida ao fixar x. O teste da raiz usa \limsup \sqrt[n]{|a_n (x-c)^n|} = |x-c| \limsup \sqrt[n]{|a_n|}, e a condição de convergência é que esse limite seja menor que 1. Isolando |x-c| obtemos a fórmula acima. O símbolo \limsup é o limite superior das raízes quando o limite pode não existir; aqui vai ser um limite simples.
No nosso caso o centro candidato é c=1 porque a série é em potências de (x-1).

Passo 4

Calcular \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} para os a_n do passo 2.
Começo calculando a raiz enésima de |a_n|:
\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{e^{d}}\;\sqrt[n]{\left(\frac{e}{n}\right)^{n}} = e^{d/n}\cdot\frac{e}{n}.
Agora analiso o comportamento quando n\to\infty:
  • e^{d/n}\to 1 porque d/n\to 0.
  • \dfrac{e}{n}\to 0.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = 0.
Como o limite existe, o \limsup é também 0.

Passo 5

Aplicar a fórmula do raio usando o resultado do passo anterior.
Pela fórmula
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} = \frac{1}{0}.
Interpretando \dfrac{1}{0} neste contexto significa que o raio é infinito, ou seja, R=+\infty. Em outras palavras, não há restrição de x vinda do critério de convergência por raio finito: a série converge (absolutamente) para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Verificação direta da convergência absoluta para qualquer x (intuição e reforço didático).
Considere o termo geral da série (em módulo) para um x fixo:
\left|(-1)^{n}\frac{e^{n+d}}{n^{n}}(x-1)^{n}\right| = e^{d}\left(\frac{e|x-1|}{n}\right)^{n}.
Tome a raiz enésima desse termo:
\sqrt[n]{\text{módulo do termo}} = e^{d/n}\cdot\frac{e|x-1|}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.ó
Como para n suficientemente grande essa quantidade é menor que um número q<1, o teste da raiz garante que a série de termos absolutos converge (é uma série absolutamente convergente). Logo a série original converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}. Isso confirma o raio infinito e mostra que o intervalo de convergência é toda a reta.

Resposta

Centro: 1
Raio de convergência: +\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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