Determine o centro e o raio da esfera cuja equação é

Passo 1

O enunciado dá a equação geral de uma esfera em R^3:
x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+8=0
Queremos encontrar o centro e o raio. Para isso, usamos a ideia de completar quadrados, já que a forma padrão da esfera é
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2,
onde (a,b,c) é o centro e r é o raio.

Passo 2

Agrupamos os termos de cada variável e acrescentamos e subtraímos os termos necessários para completar o quadrado:
x^2-2x &= (x-1)^2 - 1, y^2+4y &= (y+2)^2 - 4, z^2-6z &= (z-3)^2 - 9

Passo 3

Substituímos essas expressões na equação original e somamos às constantes:
(x-1)^2-1 ;+;(y+2)^2-4 ;+;(z-3)^2-9 ;+;8 ;=;0
Somando as constantes -1 -4 -9 +8 = -6, obtém-se
(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2-6=0 Longrightarrow (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=6

Passo 4

Essa é a forma padrão de uma esfera com centro em (1,-2,3) e raio raiz6, pois temos
(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=r^2 com r^2=6

Resposta

O centro da esfera é (1,-2,3) e o raio é raiz6.

Exercícios relacionados