Exercício 8
Determine a massa de uma quarta parte da circunferência x^2+y^2=a^2, situada no primeiro quadrante se a densidade em cada ponto é igual a ordenada desse ponto.

Passo 1

Estamos querendo a massa de uma “arco” da curva ;x^2+y^2=a^2 que fica no primeiro quadrante, sabendo que a densidade linear em cada ponto é igual à sua ordenada y.
O que precisamos usar aqui é a fórmula de massa para fio de densidade não-uniforme:
M=integralCrho(x,y),ds
onde rho(x,y)=y e C é o arco de circunferência no primeiro quadrante.

Passo 2

Parametrizamos o arco por um ângulo t variando de 0 até pi2. Uma parametrização natural é
x=acos t, y=asin t, 0<= t<= tfracpi2
Então
dxdt=-asin t, dydt=acos t
e o elemento de comprimento é
ds=raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2;dt =raiza^2sin^2t + a^2cos^2t;dt =a,dt

Passo 3

Na parametrização, a densidade em cada ponto vale
rhol(x(t),y(t)r)=y(t)=asin t
Logo a massa é
M=integralCy,ds =integral0^pi/2l(asin tr),l(a,dtr) =a^2integral0^pi/2sin t,dt

Passo 4

Basta agora calcular o integral
integral0^pi/2sin t,dt =l[-cos tr]0^pi/2 =1
Portanto
M=a^2times 1=a^2

Resposta

a^2

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