Exercício 8
Determine a massa de uma quarta parte da circunferência
, situada no primeiro quadrante se a densidade em cada ponto é igual a ordenada desse ponto.
Determine a massa de uma quarta parte da circunferência
Passo 1
Estamos querendo a massa de uma “arco” da curva
que fica no primeiro quadrante, sabendo que a densidade linear em cada ponto é igual à sua ordenada
.
O que precisamos usar aqui é a fórmula de massa para fio de densidade não-uniforme:
O que precisamos usar aqui é a fórmula de massa para fio de densidade não-uniforme:
onde
e
é o arco de circunferência no primeiro quadrante.
Passo 2
Parametrizamos o arco por um ângulo
variando de
até
. Uma parametrização natural é
Então
e o elemento de comprimento é
Passo 3
Na parametrização, a densidade em cada ponto vale
Logo a massa é
Passo 4
Basta agora calcular o integral
Portanto