Determine o centro e o raio da esfera cuja equação é
x^2+y^2+z^2-2 x+4 y-6 z+8=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro e o raio da esfera cuja equação geral é
x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+8=0
O conteúdo envolvido é escrever a equação na forma padrão
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2,
o que se faz completando quadrados em x, y e z.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em x. Repare que
x^2-2x = (x-1)^2-1

Passo 3

Agora completamos o quadrado em y e em z:
y^2+4y = (y+2)^2-4,
z^2-6z = (z-3)^2-9

Passo 4

Substituindo essas identidades na equação original, temos
(x-1)^2-1 ;+;(y+2)^2-4 ;+;(z-3)^2-9 ;+;8 ;=;0
Somando as constantes: -1-4-9+8=-6. Logo
(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2-6=0 Longrightarrow (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=6

Resposta

O centro da esfera é (1,-2,3) e o raio é raiz6.

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