1. Resolva y^prime prime+4 y^prime+4 y=0 para y(0)=1, y^prime(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 4y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-2. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar pelos dados iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada, trocando ymapsto e^rx:
r^2 + 4r + 4 = 0
Resolvendo,
r^2 + 4r + 4 = (r+2)^2 = 0
temos raiz dupla r=-2.

Passo 3

Como a raiz -2 é dupla, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1 e^-2x + C2 x e^-2x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos y(0) e y'(0). Primeiro,
y(0) = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 = C1 = 1
Em seguida, derivando
y'(x) = -2C1 e^-2x + C2 e^-2x -2C2 x e^-2x = l(-2C1 + C2r)e^-2x - 2C2 x e^-2x
Logo,
y'(0) = (-2C1 + C2)cdot1 - 0 = -2C1 + C2 = -2cdot1 + C2 = -2 + C2
Como y'(0)=-2, segue -2 + C2 = -2, daí C2 = 0.

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = e^-2x

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