Determine o centro e o raio:
(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=25

Passo 1

O enunciado dá a equação
(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=25
e pede duas coisas: determinar o centro e determinar o raio da curva definida por essa equação. As informações relevantes que temos são os termos dentro dos quadrados e o número do lado direito da igualdade.

Passo 2

Vamos lembrar a forma padrão de uma circunferência (não vou usar jargões difíceis): se uma equação está escrita como
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},
então:
  • (h,k) é o centro da circunferência;
  • r é o raio (um número positivo).
    Aqui h é o valor que aparece subtraído de x dentro do quadrado, k é o valor que aparece subtraído de y dentro do quadrado, e r^{2} é o número do lado direito.

Passo 3

Agora compare termo a termo a equação dada com a forma padrão:
(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=25
Para o primeiro termo, x-2 tem a mesma forma de x-h, logo h=2.
Para o segundo termo, temos y+3. Isso pode ser visto como y-(-3), então k=-3.
Para o lado direito, r^{2}=25.
É importante prestar atenção ao sinal: se aparece y+3 isso corresponde a k=-3, porque a forma padrão tem y-k.

Passo 4

Calcule o raio a partir de r^{2}=25. Tomando a raiz quadrada (lembrando que raio é não negativo):
r=\sqrt{25}=5.
Portanto o raio é 5.

Passo 5

Breve dica prática para casos em que a equação não esteja na forma padrão: se a equação vier como
x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0,
faz-se completar o quadrado em x e em y para reescrever na forma (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}. Exemplo rápido (esqueleto do procedimento):
x^{2}+Ax \;=\; (x+\tfrac{A}{2})^{2}-\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)^{2},\qquad y^{2}+By \;=\; (y+\tfrac{B}{2})^{2}-\bigl(\tfrac{B}{2}\bigr)^{2},
e então reúne-se constantes para obter r^{2}. Isso serve quando a equação não estiver já prontinha como no exercício dado.

Resposta

Centro: (2,-3)
Raio: 5

Exercícios relacionados