Use a Regra da Cadeia para achar
ou
.
Passo 1
O enunciado dá as relações entre as variáveis e pede que se use a Regra da Cadeia para achar
ou
. Vou listar claramente o que foi fornecido:
-
. -
. -
. (observação: é dada mas não aparece em ; portanto não será necessária aqui) -
.
O pedido é obter derivadas em função de
: pelo menos
ou
. Vou calcular ambas, porque
é simples e será usada para obter
.
Passo 2
Calcular
.
Explicação e execução passo a passo:
-
é uma função linear de : . - A derivada de uma função linear
em relação a é simplesmente o coeficiente angular .
Portanto:
Passo 3
Escolha do método para
e ideia da Regra da Cadeia.
Explicação didática (jeito amigo e direto):
-
depende de indiretamente porque é dada em função de e , e ambas e dependem de . A Regra da Cadeia nos diz que, quando uma função depende de variáveis que por sua vez dependem de , a derivada total é a soma dos efeitos de cada caminho. - Um caminho prático e direto aqui é ver
e usar a regra do produto junto com a regra da cadeia para derivar a exponencial composta. - Alternativa (equivalente) seria escrever a derivada total em termos de derivadas parciais:
Vou usar a forma do produto + cadeia (que é análoga e talvez mais intuitiva neste caso).
Passo 4
Derivar passo a passo: calcule
e prepare a derivação da parte exponencial.
- Como
, pela regra da potência:
- A parte exponencial é
. Para aplicar a cadeia: se , então . - Precisamos de
. Usando a regra da cadeia e a regra do quociente (ou a forma ):
- Já encontramos
, então
Passo 5
Aplicar a regra do produto para
.
Regra do produto: se
com
, então
Substituindo
e usando o resultado do passo anterior:
Passo 6
Simplificar a expressão antes de substituir
e
.
Fatorando
da expressão:
Isso é uma forma limpa que já mostra claramente os dois termos: o efeito da variação de
e o efeito da variação de
.
Passo 7
Substituir
e
para escrever
inteiramente em função de
.
- Substituindo
e na expressão do passo anterior, obtemos a forma final em termos de :