Use a Regra da Cadeia para achar d z / d t ou d w / d t.
w=x e^{3 / z}, \quad x=t^{2}, \quad y=1-t, \quad z=1+2 t

Passo 1

O enunciado dá as relações entre as variáveis e pede que se use a Regra da Cadeia para achar dz/dt ou dw/dt. Vou listar claramente o que foi fornecido:
  • w = x e^{3/z}.
  • x = t^{2}.
  • y = 1 - t. (observação: y é dada mas não aparece em w; portanto não será necessária aqui)
  • z = 1 + 2t.
O pedido é obter derivadas em função de t: pelo menos dz/dt ou dw/dt. Vou calcular ambas, porque dz/dt é simples e será usada para obter dw/dt.

Passo 2

Calcular \dfrac{dz}{dt}.
Explicação e execução passo a passo:
  • z(t) é uma função linear de t: z(t)=1+2t.
  • A derivada de uma função linear a+bt em relação a t é simplesmente o coeficiente angular b.
    Portanto:
\frac{dz}{dt}=2.

Passo 3

Escolha do método para \dfrac{dw}{dt} e ideia da Regra da Cadeia.
Explicação didática (jeito amigo e direto):
  • w depende de t indiretamente porque w é dada em função de x e z, e ambas x e z dependem de t. A Regra da Cadeia nos diz que, quando uma função depende de variáveis que por sua vez dependem de t, a derivada total é a soma dos efeitos de cada caminho.
  • Um caminho prático e direto aqui é ver w(t)=x(t)\cdot e^{3/z(t)} e usar a regra do produto junto com a regra da cadeia para derivar a exponencial composta.
  • Alternativa (equivalente) seria escrever a derivada total em termos de derivadas parciais:
\frac{dw}{dt}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{dz}{dt}.
Vou usar a forma do produto + cadeia (que é análoga e talvez mais intuitiva neste caso).

Passo 4

Derivar passo a passo: calcule \dfrac{dx}{dt} e prepare a derivação da parte exponencial.
  • Como x(t)=t^{2}, pela regra da potência:
\frac{dx}{dt}=2t.
  • A parte exponencial é e^{3/z(t)}. Para aplicar a cadeia: se u(t)=3/z(t), então \dfrac{d}{dt} e^{u(t)} = e^{u(t)}\cdot u'(t).
  • Precisamos de u'(t)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{3}{z(t)}\right). Usando a regra da cadeia e a regra do quociente (ou a forma \dfrac{3}{z}=3 z^{-1}):
\frac{d}{dt}\left(\frac{3}{z}\right)=3\frac{d}{dt}\left(z^{-1}\right)=3\cdot(-1)z^{-2}\cdot\frac{dz}{dt}=-\frac{3}{z^{2}}\frac{dz}{dt}.
  • Já encontramos \dfrac{dz}{dt}=2, então
\frac{d}{dt}\left(\frac{3}{z}\right)=-\frac{3}{z^{2}}\cdot 2 = -\frac{6}{z^{2}}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto para \dfrac{dw}{dt}.
Regra do produto: se w(t)=x(t)\cdot v(t) com v(t)=e^{3/z(t)}, então
\frac{dw}{dt}=x'(t)v(t)+x(t)v'(t).
Substituindo v'(t)=e^{3/z(t)}\cdot \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{3}{z(t)}\right) e usando o resultado do passo anterior:
\frac{dw}{dt}=2t\;e^{3/z}+x\;e^{3/z}\left(-\frac{6}{z^{2}}\right).

Passo 6

Simplificar a expressão antes de substituir x(t) e z(t).
Fatorando e^{3/z} da expressão:
\frac{dw}{dt}=e^{3/z}\left(2t - \frac{6x}{z^{2}}\right).
Isso é uma forma limpa que já mostra claramente os dois termos: o efeito da variação de x e o efeito da variação de z.

Passo 7

Substituir x(t)=t^{2} e z(t)=1+2t para escrever \dfrac{dw}{dt} inteiramente em função de t.
  • Substituindo x=t^{2} e z=1+2t na expressão do passo anterior, obtemos a forma final em termos de t:
\frac{dw}{dt}=e^{\frac{3}{1+2t}}\left(2t - \frac{6t^{2}}{(1+2t)^{2}}\right).

Resposta

\dfrac{dz}{dt}=2
\dfrac{dw}{dt}=e^{\frac{3}{1+2t}}\left(2t - \dfrac{6t^{2}}{(1+2t)^{2}}\right)

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