Determine o centro, os vértices, os focos e o comprimento dos eixos das elipses de cada um dos itens abaixo. Faça também um esboço das elipses.
;
Passo 1
O enunciado dá a equação da curva
e pede que se determine:
- o centro da elipse;
- os vértices;
- os focos;
- o comprimento dos eixos (maior e menor);
- e que se faça um esboço da elipse.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- Coeficientes dos termos quadráticos:
em e em . - Termo linear em
: . - Termo constante:
.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão da elipse completando quadrados. Agrupo os termos em
e em
:
Faço a fatoração dos coeficientes dos quadrados para completar o quadrado em
:
Agora completo o quadrado dentro de
. Lembre que
porque
. Substituindo:
Distribuindo
e juntando constantes:
Passo final: isolo o termo constante e divido tudo por
para obter a forma padrão:
Passo 3
Interpretação da forma padrão. A forma geral de uma elipse centrada em
é
onde, por convenção,
e:
- se
estiver sob o termo em , a elipse tem eixo maior na direção horizontal; - se
estiver sob o termo em , o eixo maior é vertical.
Comparando com a nossa equação
, obtemos:
- centro
; -
e (como , o eixo maior é horizontal); -
e .
Passo 4
Vértices e co-vértices (pontos extremos dos eixos).
- Vértices (extremos do eixo maior, na horizontal): estão em
. Portanto: - Co-vértices (extremos do eixo menor, na vertical): estão em
. Portanto:
Passo 5
Cálculo dos focos. Para elipse com eixo maior horizontal vale a relação
onde
é a distância do centro a cada foco. Substituindo:
Como o eixo maior é horizontal, os focos ficam em
, ou seja:
Passo 6
Comprimentos dos eixos e excentricidade (informação útil para entender a forma).
- Comprimento do eixo maior
- Comprimento do eixo menor
- Excentricidade (opcional, mede quão “esticada” é a elipse):
Passo 7
Esboço da elipse (não à escala, indica posições relativas). Marca-se o centro em
, vértices em
e
, e co-vértices em
e
. Um esboço simples (e aproximado):
y
^
^
| (1,3) |
|---|
| * |
| ----±—-----> x |
| (-3,0) (1,0) (5,0) |
| * |
| (1,-3) |
Legenda dos pontos:
são os vértices;
são os co-vértices; o centro é
.
Resposta
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Comprimento do eixo maior:
Comprimento do eixo menor:
Vértices:
Focos:
Comprimento do eixo maior:
Comprimento do eixo menor: