Determine o centro, os vértices, os focos e o comprimento dos eixos das elipses de cada um dos itens abaixo. Faça também um esboço das elipses.
9 x^{2}+16 y^{2}-18 x-135=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação da curva
9x^{2}+16y^{2}-18x-135=0
e pede que se determine:
  • o centro da elipse;
  • os vértices;
  • os focos;
  • o comprimento dos eixos (maior e menor);
  • e que se faça um esboço da elipse.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Coeficientes dos termos quadráticos: 9 em x^{2} e 16 em y^{2}.
  • Termo linear em x: -18x.
  • Termo constante: -135.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão da elipse completando quadrados. Agrupo os termos em x e em y:
9x^{2}-18x+16y^{2}-135=0.
Faço a fatoração dos coeficientes dos quadrados para completar o quadrado em x:
9\bigl(x^{2}-2x\bigr)+16y^{2}-135=0.
Agora completo o quadrado dentro de \bigl(x^{2}-2x\bigr). Lembre que
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1,
porque (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1. Substituindo:
9\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)+16y^{2}-135=0.
Distribuindo 9 e juntando constantes:
9(x-1)^{2}-9+16y^{2}-135=0
9(x-1)^{2}+16y^{2}-144=0.
Passo final: isolo o termo constante e divido tudo por 144 para obter a forma padrão:
9(x-1)^{2}+16y^{2}=144
\frac{(x-1)^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1.

Passo 3

Interpretação da forma padrão. A forma geral de uma elipse centrada em (h,k) é
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
onde, por convenção, a\ge b>0 e:
  • se a^{2} estiver sob o termo em x, a elipse tem eixo maior na direção horizontal;
  • se a^{2} estiver sob o termo em y, o eixo maior é vertical.
Comparando com a nossa equação \dfrac{(x-1)^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1, obtemos:
  • centro (h,k)=(1,0);
  • a^{2}=16 e a=4 (como 16>9, o eixo maior é horizontal);
  • b^{2}=9 e b=3.

Passo 4

Vértices e co-vértices (pontos extremos dos eixos).
  • Vértices (extremos do eixo maior, na horizontal): estão em (h\pm a,k). Portanto: \text{vértices}:\quad (1-4,\,0)=(-3,0)\quad\text{e}\quad(1+4,\,0)=(5,0).é
  • Co-vértices (extremos do eixo menor, na vertical): estão em (h,k\pm b). Portanto: \text{co-vértices}:\quad (1,\,0-3)=(1,-3)\quad\text{e}\quad(1,\,0+3)=(1,3).é

Passo 5

Cálculo dos focos. Para elipse com eixo maior horizontal vale a relação
c^{2}=a^{2}-b^{2},
onde c é a distância do centro a cada foco. Substituindo:
c^{2}=16-9=7 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{7}.
Como o eixo maior é horizontal, os focos ficam em (h\pm c,k), ou seja:
\text{focos}:\quad \bigl(1-\sqrt{7},\,0\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(1+\sqrt{7},\,0\bigr).

Passo 6

Comprimentos dos eixos e excentricidade (informação útil para entender a forma).
  • Comprimento do eixo maior =2a=2\cdot4=8.
  • Comprimento do eixo menor =2b=2\cdot3=6.
  • Excentricidade (opcional, mede quão “esticada” é a elipse): e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}\approx0,6614.

Passo 7

Esboço da elipse (não à escala, indica posições relativas). Marca-se o centro em (1,0), vértices em (-3,0) e (5,0), e co-vértices em (1,3) e (1,-3). Um esboço simples (e aproximado):
y
^
(1,3)
*
----±—-----> x
(-3,0) (1,0) (5,0)
*
(1,-3)
Legenda dos pontos: ( -3,0 ),\\ (5,0) são os vértices; (1,3),\\ (1,-3) são os co-vértices; o centro é (1,0).

Resposta

Centro: (1,0)
Vértices: (-3,0) e (5,0)
Focos: \bigl(1-\sqrt{7},0\bigr) e \bigl(1+\sqrt{7},0\bigr)
Comprimento do eixo maior: 8
Comprimento do eixo menor: 6

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