Determine os valores extremos da função
f(x, y)=e^2 y restrito a x^2+y-12 <= 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os valores extremos da função sujeita à restrição . Isso envolve otimização com restrições, onde buscamos os valores máximos e mínimos da função dentro de uma determinada região definida pela restrição.

Passo 2

Vamos analisar a restrição y <= 12 - x^2 . Podemos rearranjar essa inequação para expressar em termos de :
Isso significa que a região viável (onde procuraremos os extremos) está abaixo ou na curva , que é uma parábola com vértice no ponto e que se abre para baixo.

Passo 3

Para encontrar os valores extremos da função dentro dessa região, precisamos considerar dois casos:
  1. Extremos no interior da região viável: onde as derivadas parciais da função são iguais a zero.
  2. Extremos na fronteira da região viável: onde a restrição é satisfeita com igualdade.

Passo 4

Vamos primeiro verificar se existem extremos no interior da região viável. Calculamos as derivadas parciais de partial fpartial x = 0 em relação a partial fpartial y = 2e^2y e partial fpartial x = 0 (sempre verdadeiro) :
partial fpartial y = 0 implies 2e^2y = 0
Para encontrar pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
No entanto, nunca é zero para nenhum valor real de . Portanto, não existem pontos críticos no interior da região viável.

Passo 5

Como não há extremos no interior, devemos procurar os extremos na fronteira da região viável, onde f(x, y) = e^2y = e^2(12 - x^2) = e^24 - 2x^2 = e^24 cdot e^-2x^2 . Substituímos essa expressão na função :
Agora, nossa função reduzida é .

Passo 6

Vamos analisar f(0) = e^24 cdot e^0 = e^24 :
  • Para :
  • Conforme aumenta, o termo diminui, fazendo com que também diminua.
Portanto, a função atinge seu máximo em e não possui um mínimo finito dentro da região viável, já que podemos tornar tão pequeno quanto quisermos ao aumentar .

Resposta

A função atinge um valor máximo de no ponto e não possui um valor mínimo dentro da região definida por .

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