Determine os valores extremos da função
restrito a
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os valores extremos da função
sujeita à restrição
. Isso envolve otimização com restrições, onde buscamos os valores máximos e mínimos da função dentro de uma determinada região definida pela restrição.
Passo 2
Vamos analisar a restrição
. Podemos rearranjar essa inequação para expressar
em termos de
:
Isso significa que a região viável (onde procuraremos os extremos) está abaixo ou na curva
, que é uma parábola com vértice no ponto
e que se abre para baixo.
Passo 3
Para encontrar os valores extremos da função
dentro dessa região, precisamos considerar dois casos:
- Extremos no interior da região viável: onde as derivadas parciais da função são iguais a zero.
- Extremos na fronteira da região viável: onde a restrição
é satisfeita com igualdade.
Passo 4
Vamos primeiro verificar se existem extremos no interior da região viável. Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Para encontrar pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
No entanto,
nunca é zero para nenhum valor real de
. Portanto, não existem pontos críticos no interior da região viável.
Passo 5
Como não há extremos no interior, devemos procurar os extremos na fronteira da região viável, onde
. Substituímos essa expressão na função
:
Agora, nossa função reduzida é
.
Passo 6
Vamos analisar
:
-
Para
: -
Conforme
aumenta, o termo diminui, fazendo com que também diminua.
Portanto, a função
atinge seu máximo em
e não possui um mínimo finito dentro da região viável, já que podemos tornar
tão pequeno quanto quisermos ao aumentar
.
Resposta
A função
atinge um valor máximo de
no ponto
e não possui um valor mínimo dentro da região definida por
.