Determine e classifique os pontos críticos de:
f(x, y)=y^3-y-x^2;

Passo 1

Resumo do enunciado e o que precisamos: a função f(x,y)=y^3-y-x^2 e a tarefa é achar e classificar seus pontos críticos. Para isso vamos calcular as derivadas parciais, igualar a zero para obter os pontos críticos e usar a matriz Hessiana para classificar.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
fx=partial fpartial x=-2x, fy=partial fpartial y=3y^2-1

Passo 3

Determinar os pontos críticos resolvendo fx=0 e fy=0:
-2x=0 implies x=0, 3y^2-1=0 implies y^2=13 implies y=pm1raiz3
Logo, os pontos críticos são (0,tfrac1raiz3) e (0,-tfrac1raiz3).

Passo 4

Construir a matriz Hessiana de f:
fxx=-2, fxy=0, fyy=6y

Passo 5

Calcular o determinante da Hessiana em cada ponto:
D(x,y)=fxxfyy-(fxy)^2=-2cdot(6y)=-12y
Para y=tfrac1raiz3 temos D=-12/raiz3<0, logo ponto de sela.
Para y=-tfrac1raiz3 temos D=12/raiz3>0 e fxx=-2<0, logo máximo local.

Resposta

Os pontos críticos são (0,tfrac1raiz3), que é ponto de sela, e (0,-tfrac1raiz3), que é máximo local.

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