Resolve a seguinte FDO:
2 x y^2x^2+1-3 x^2+(e^y+2 y ln (x^2+1)) y^prime=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
diferencial exata
2 x y^2x^2+1-3 x^2+(e^y+2 y ln(x^2+1)),y'=0
Estamos no tópico de equações exatas e precisamos encontrar uma função potencial ψ(x,y) tal que
partial ψpartial x=M(x,y), partial ψpartial y=N(x,y),
onde
M(x,y)=2 x y^2x^2+1-3 x^2, N(x,y)=e^y+2 y ln(x^2+1)

Passo 2

Primeiro verificamos se a equação é exata, isto é, se
partial Mpartial y=partial Npartial x
Calculando:
partial Mpartial y=4 x yx^2+1, partial Npartial x=2ycdot2xx^2+1=4 x yx^2+1
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Agora integramos M(x,y) em relação a x, tratando y como constante, e adicionamos uma função auxiliar h(y):
ψ(x,y)=integrall(2 x y^2x^2+1-3 x^2r)dx = y^2ln(x^2+1)-x^3+h(y)

Passo 4

Em seguida, impomos que
partial ψpartial y=N(x,y)
Derivando o nosso ψ:
partial ψpartial y=2yln(x^2+1)+h'(y)
e igualamos a
e^y+2yln(x^2+1)
Isso dá
h'(y)=e^y

Passo 5

Integramos h'(y) em relação a y:
h(y)=integral e^ydy=e^y+C1
Como C1 se absorve na constante geral da solução, podemos ignorá-lo.

Passo 6

Portanto a função potencial completa é
ψ(x,y)=y^2ln(x^2+1)-x^3+e^y
A solução geral da equação exata é dada por
ψ(x,y)=C,
onde C é constante.

Passo 7

E assim chegamos à solução implícita da FDO.

Resposta

A solução geral é
y^2ln(x^2+1)-x^3+e^y=C,
com C constante.

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