Resolve a seguinte FDO:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
diferencial exata
diferencial exata
Estamos no tópico de equações exatas e precisamos encontrar uma função potencial
tal que
onde
Passo 2
Primeiro verificamos se a equação é exata, isto é, se
Calculando:
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Agora integramos
em relação a
, tratando
como constante, e adicionamos uma função auxiliar
:
Passo 4
Em seguida, impomos que
Derivando o nosso
:
e igualamos a
Isso dá
Passo 5
Integramos
em relação a
:
Como
se absorve na constante geral da solução, podemos ignorá-lo.
Passo 6
Portanto a função potencial completa é
A solução geral da equação exata é dada por
onde
é constante.
Passo 7
E assim chegamos à solução implícita da FDO.
Resposta
A solução geral é
com
constante.