Determine e classifique os pontos críticos de:
z=x^3-3 x+y^2

Passo 1

A questão pede para achar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis f(x,y)=x^3-3x+y^2. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para encontrar onde o gradiente se anula e depois analisar o tipo de cada ponto com a matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e resolvemos nabla f=0:
partial fpartial x=3x^2-3=0implies x^2=1implies x=pm1,
partial fpartial y=2y=0implies y=0
Logo, os pontos críticos são (-1,0) e (1,0).

Passo 3

Agora montamos a Hessiana
H=fxx&fxyfyx&fyy =6x&00&2
Em (1,0) temos
H(1,0)=6&00&2,
que é definida positiva (ambos autovalores positivos), indicando mínimo local. Em (-1,0) temos
H(-1,0)=-6&00&2,
com um autovalor negativo e outro positivo, caracterizando ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são (-1,0), que é ponto de sela, e (1,0), que é mínimo local.

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