Determine e classifique os pontos críticos de:
f(x, y)=2 x^{4}+y^{2}-x^{2}-2 y;

Passo 1

O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=2x^{4}+y^{2}-x^{2}-2y.
Informações relevantes dadas:
  • A função é um polinômio em (x,y), definida para todos os (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • O objetivo é:
    • encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é nulo ou não existe);
    • classificar cada ponto crítico (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).

Passo 2

Conceito necessário (explicado de forma direta):
  • Um ponto (x_0,y_0) é crítico se as derivadas parciais first order se anulam ali, isto é, se
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0 \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0.
  • Para classificar um ponto crítico em duas variáveis usa-se a matriz Hessiana H (matriz das segundas derivadas) e o determinante D de H em (x_0,y_0):
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},\qquad D = \det H = f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2.
Regras da segunda derivada (teste de Hessian) em duas variáveis:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
\frac{\partial f}{\partial x}=f_x= \frac{d}{dx}\bigl(2x^{4}-x^{2}\bigr)=8x^{3}-2x,
\frac{\partial f}{\partial y}=f_y= \frac{d}{dy}\bigl(y^{2}-2y\bigr)=2y-2.
Fatorando f_x:
f_x=8x^{3}-2x=2x(4x^{2}-1).

Passo 4

Determinar os pontos críticos resolvendo f_x=0 e f_y=0:
  • De f_y=0 vem
2y-2=0\quad\Rightarrow\quad y=1.
  • De f_x=0 vem
2x(4x^{2}-1)=0\quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad 4x^{2}-1=0.
Da segunda equação 4x^{2}-1=0 obtemos x^{2}=\tfrac{1}{4}, logo x=\pm\tfrac{1}{2}.
Combinando com y=1, os pontos críticos são
(0,1),\qquad\Bigl(\tfrac{1}{2},1\Bigr),\qquad\Bigl(-\tfrac{1}{2},1\Bigr).

Passo 5

Calcular as segundas derivadas (entradas do Hessiano):
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(8x^{3}-2x)=24x^{2}-2,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(2y-2)=2,
f_{xy}=f_{yx}=0\quad(\text{pois as partes em }x\text{ e }y\text{ são separáveis}).ãá
Portanto a matriz Hessiana é diagonal e o determinante é
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2=(24x^{2}-2)\cdot 2 =48x^{2}-4 =4(12x^{2}-1).

Passo 6

Avaliar f_{xx}, f_{yy} e D em cada ponto crítico e aplicar o teste:
  1. Em (0,1) temos x=0:
f_{xx}(0,1)=24\cdot 0^{2}-2=-2, \qquad f_{yy}=2, \qquad D=48\cdot 0^{2}-4=-4<0.
Como D<0, (0,1) é um ponto de sela.
  1. Em \bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr) (e o caso simétrico \bigl(-\tfrac{1}{2},1\bigr) dará o mesmo, porque depende de x^{2}):
x^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad f_{xx}=24\cdot\tfrac{1}{4}-2=6-2=4,
f_{yy}=2, \qquad D=4\cdot 2 - 0 =8>0.
Como D>0 e f_{xx}=4>0, cada um desses pontos é um mínimo local.

Passo 7

Calcular os valores de f nesses pontos (útil para ver quem é o menor):
f(0,1)=2\cdot 0^{4}+1^{2}-0-2\cdot 1 = 1-2=-1.
f\Bigl(\pm\tfrac{1}{2},1\Bigr)=2\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{4}+1^{2}-\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2}-2\cdot 1 =2\cdot\tfrac{1}{16}+1-\tfrac{1}{4}-2 =\tfrac{1}{8}+1-\tfrac{1}{4}-2 =-\tfrac{9}{8}.
Portanto os mínimos locais têm valor f=-\tfrac{9}{8}, que é menor que f(0,1)=-1.

Passo 8

Mostrar que os mínimos locais em x=\pm\tfrac{1}{2},\,y=1 são na verdade mínimos globais. Fazendo uma reescrita por quadrados:
defina t=x^{2}\ge 0. Então
2x^{4}-x^{2}=2t^{2}-t = 2\Bigl(t-\tfrac{1}{4}\Bigr)^{2} - \tfrac{1}{8}.
E
y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1.
Somando,
f(x,y)=2\Bigl(x^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr)^{2}+(y-1)^{2}-\tfrac{1}{8}-1 =2\Bigl(x^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr)^{2}+(y-1)^{2}-\tfrac{9}{8}.
Da expressão acima segue imediatamente que f(x,y)\ge -\tfrac{9}{8} para todo (x,y), e a igualdade ocorre exatamente quando
x^{2}-\tfrac{1}{4}=0\quad\text{e}\quad y-1=0,
ou seja em \bigl(\pm\tfrac{1}{2},1\bigr). Logo esses pontos são mínimos globais e o valor mínimo global é -\tfrac{9}{8}.

Resposta

\,(0,1): ponto de sela.
\,\bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr): mínimo local e mínimo global, f=-\tfrac{9}{8}.
\,\bigl(-\tfrac{1}{2},1\bigr): mínimo local e mínimo global, f=-\tfrac{9}{8}.

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