Determine e classifique os pontos críticos de:
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
Informações relevantes dadas:
- A função é um polinômio em
, definida para todos os . - O objetivo é:
- encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é nulo ou não existe);
- classificar cada ponto crítico (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).
Passo 2
Conceito necessário (explicado de forma direta):
- Um ponto
é crítico se as derivadas parciais first order se anulam ali, isto é, se
- Para classificar um ponto crítico em duas variáveis usa-se a matriz Hessiana
(matriz das segundas derivadas) e o determinante de em :
Regras da segunda derivada (teste de Hessian) em duas variáveis:
- Se
e então é mínimo local. - Se
e então é máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
Fatorando
:
Passo 4
Determinar os pontos críticos resolvendo
e
:
- De
vem
- De
vem
Da segunda equação
obtemos
, logo
.
Combinando com
, os pontos críticos são
Passo 5
Calcular as segundas derivadas (entradas do Hessiano):
Portanto a matriz Hessiana é diagonal e o determinante é
Passo 6
Avaliar
,
e
em cada ponto crítico e aplicar o teste:
- Em
temos :
Como
,
é um ponto de sela.
- Em
(e o caso simétrico dará o mesmo, porque depende de ):
Como
e
, cada um desses pontos é um mínimo local.
Passo 7
Calcular os valores de
nesses pontos (útil para ver quem é o menor):
Portanto os mínimos locais têm valor
, que é menor que
.
Passo 8
Mostrar que os mínimos locais em
são na verdade mínimos globais. Fazendo uma reescrita por quadrados:
defina . Então
defina
E
Somando,
Da expressão acima segue imediatamente que
para todo
, e a igualdade ocorre exatamente quando
ou seja em
. Logo esses pontos são mínimos globais e o valor mínimo global é
.