Determine e classifique os pontos críticos de:
Passo 1
O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
O que temos e o que é pedido:
- Dado: a função
polinomial de duas variáveis. - Pedidos:
- Encontrar todos os pontos críticos (ou seja, os pontos onde o gradiente é
). - Classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
- Encontrar todos os pontos críticos (ou seja, os pontos onde o gradiente é
Passo 2
O que é um ponto crítico e como vamos achar:
- Chamamos de ponto crítico qualquer ponto
onde o gradiente de é o vetor nulo, isto é, onde as derivadas parciais são zero:
- Como
é polinomial, as derivadas existem em todo lugar, então basta resolver o sistema .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (mostrando passo a passo):
- Derivada parcial em relação a
: tratar como constante. A função tem termo que derivado em dá . Logo
- Derivada parcial em relação a
: tratar como constante. Derivando cada termo: -
dá , -
dá , -
dá .
Portanto
-
Passo 4
Resolver o sistema
. Escrevendo o sistema:
Simplificando dividindo a segunda equação por
:
Da primeira equação
vem
ou
. Resolver cada caso:
-
Caso
: inserir em dá , então e . Pontos críticos: e . -
Caso
: inserir em dá , então e . Pontos críticos: e .
Conclusão deste passo: os pontos críticos são
Passo 5
Como classificar cada ponto crítico? Vou usar o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana). Explicando a ideia de forma simples:
- A Hessiana
é a matriz das segundas derivadas:
- No caso bidimensional, define-se o discriminante
Regra de classificação (segundo a forma padrão):
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo (não acontece aqui).
Passo 6
Calcular as segundas derivadas (mostrando o cálculo):
- Já temos
. Derivando em novamente:
- Derivando
em :
- Já tínhamos
. Derivando em :
Observação: aqui
e
. Assim a Hessiana é
O discriminante vale
Passo 7
Avaliar
e
em cada ponto crítico e concluir a classificação:
-
Em
: Comoe , é um mínimo local. -
Em
: Comoe , é um máximo local. -
Em
: Como, é um ponto de sela. -
em
: Como, é um ponto de sela.
Passo 8
(Comentário rápido e encorajador) Pronto! Encontramos todos os pontos críticos e os classificamos com o teste padrão. Se quiser, posso desenhar um contorno aproximado da superfície ou mostrar como ver isso graficamente para fixar a intuição — mas agora já temos a resposta completa e clara.