Determine e classifique os pontos críticos de:
f(x, y)=-3 y+3 x^{2} y+y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y) = -3y + 3x^{2}y + y^{3}.
O que temos e o que é pedido:
  • Dado: a função f(x,y) polinomial de duas variáveis.
  • Pedidos:
    1. Encontrar todos os pontos críticos (ou seja, os pontos onde o gradiente é 0).
    2. Classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

O que é um ponto crítico e como vamos achar:
  • Chamamos de ponto crítico qualquer ponto (x,y) onde o gradiente de f é o vetor nulo, isto é, onde as derivadas parciais são zero:
\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) = (0,0).
  • Como f é polinomial, as derivadas existem em todo lugar, então basta resolver o sistema \nabla f = (0,0).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (mostrando passo a passo):
  • Derivada parcial em relação a x: tratar y como constante. A função tem termo 3x^{2}y que derivado em x 6xy. Logo
\frac{\partial f}{\partial x} = 6xy.
  • Derivada parcial em relação a y: tratar x como constante. Derivando cada termo:
    • -3y -3,
    • 3x^{2}y 3x^{2},
    • y^{3} 3y^{2}.
      Portanto
\frac{\partial f}{\partial y} = -3 + 3x^{2} + 3y^{2}.

Passo 4

Resolver o sistema \nabla f=0. Escrevendo o sistema:
6xy = 0, \qquad -3 + 3x^{2} + 3y^{2} = 0.
Simplificando dividindo a segunda equação por 3:
6xy = 0, \qquad -1 + x^{2} + y^{2} = 0.
Da primeira equação 6xy=0 vem x=0 ou y=0. Resolver cada caso:
  • Caso x=0: inserir em -1 + x^{2} + y^{2} = 0 -1 + 0 + y^{2} = 0, então y^{2}=1 e y=\pm 1. Pontos críticos: \,(0,1) e \,(0,-1).
  • Caso y=0: inserir em -1 + x^{2} + y^{2} = 0 -1 + x^{2} + 0 = 0, então x^{2}=1 e x=\pm 1. Pontos críticos: \,(1,0) e \,(-1,0).
Conclusão deste passo: os pontos críticos são
(0,1),\quad (0,-1),\quad (1,0),\quad (-1,0).

Passo 5

Como classificar cada ponto crítico? Vou usar o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana). Explicando a ideia de forma simples:
  • A Hessiana H é a matriz das segundas derivadas:
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}.
  • No caso bidimensional, define-se o discriminante
D(x,y) = \det H(x,y) = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
Regra de classificação (segundo a forma padrão):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo (não acontece aqui).

Passo 6

Calcular as segundas derivadas (mostrando o cálculo):
  • Já temos f_{x}=6xy. Derivando em x novamente:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(6xy) = 6y.
  • Derivando f_{x} em y:
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(6xy) = 6x.
  • Já tínhamos f_{y}=-3+3x^{2}+3y^{2}. Derivando em y:
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(-3+3x^{2}+3y^{2}) = 6y.
Observação: aqui f_{xx}=f_{yy}=6y e f_{xy}=6x. Assim a Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix}6y & 6x\\[4pt]6x & 6y\end{pmatrix}.
O discriminante vale
D(x,y) = (6y)(6y) - (6x)^{2} = 36(y^{2}-x^{2}).]

Passo 7

Avaliar D e f_{xx} em cada ponto crítico e concluir a classificação:
  • Em \, (0,1):
    D = 36(1^{2}-0^{2}) = 36>0, \qquad f_{xx}=6y=6\cdot 1 = 6>0.
    Como D>0 e f_{xx}>0, (0,1) é um mínimo local.
  • Em \, (0,-1):
    D = 36((-1)^{2}-0^{2}) = 36>0, \qquad f_{xx}=6y=6\cdot(-1) = -6<0.
    Como D>0 e f_{xx}<0, (0,-1) é um máximo local.
  • Em \, (1,0):
    D = 36(0^{2}-1^{2}) = 36(-1) = -36<0.
    Como D<0, (1,0) é um ponto de sela.
  • em \, (-1,0):
    D = 36(0^{2}-(-1)^{2}) = -36<0.
    Como D<0, (-1,0) é um ponto de sela.

Passo 8

(Comentário rápido e encorajador) Pronto! Encontramos todos os pontos críticos e os classificamos com o teste padrão. Se quiser, posso desenhar um contorno aproximado da superfície ou mostrar como ver isso graficamente para fixar a intuição — mas agora já temos a resposta completa e clara.

Resposta

(0,1): mínimo local
(0,-1): máximo local
(1,0): ponto de sela
(-1,0): ponto de sela

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