(1,5) Um engenheiro está trabalhando em um projeto para a construção de um galpão retangular que deverá ter 5.000 m^2 de área. Ele deverá construir ainda duas paredes internas que serão paralelas a alguma das paredes iniciais de maneira a dividir esse galpão em três salões retangulares de mesma área. A medida mínima de cada parede deverá ser de 10 m e a região total disponível para a construção é um terreno quadrangular de lado 250 m . Quais devem ser as dimensões desse galpão para que o gasto de material, nessa construção, seja o menor possível?

Passo 1

O enunciado pede um galpão retangular de área fixa de 5.000 m², dividido em três salões iguais por duas paredes internas paralelas a um dos lados originais. Queremos escolher as dimensões de modo a minimizar o comprimento total de paredes (contorno externo + internas). Precisamos usar optimização com restrição de área e lembrar que cada parede interna deve ter comprimento mínimo de 10 m. Além disso o galpão cabe num terreno de 250 m×250 m, então cada dimensão ≤250 m.

Passo 2

Definimos x e y como as dimensões do galpão (em m), com área x·y=5000. Se as paredes internas forem paralelas ao lado de comprimento x, teremos duas paredes de comprimento x. O comprimento total de paredes é
L1=2(x+y)+2x=4x+2y
Usando y=5000/x vem
L1(x)=4x+25000x=4x+10000x

Passo 3

O domínio de x vem das restrições: y=5000/x≤250⇒x≥20, e x≤250 pelo terreno. Além disso x≥10 para que as paredes internas (de comprimento x) respeitem o mínimo de 10 m, mas isso já está contido em x≥20. Assim x∈[20,250].

Passo 4

Para minimizar L_1(x) fazemos derivada:
L1'(x)=4-10000x^2=0⇒ x^2=2500⇒ x=50 m
Como L_1’’(x)=20000/x^3>0, é mínimo. Logo y=5000/50=100 m.

Passo 5

Se as paredes internas forem paralelas ao lado y, o comprimento total é
L2=2(x+y)+2y=2x+4y
Substituindo x=5000/y e seguindo o mesmo raciocínio, chegamos a y=50 m e x=100 m, dando o mesmo retângulo trocando nomes de x e y.

Passo 6

Em ambos os casos o galpão ótimo tem dimensões 50 m×100 m, totalizando 400 m de paredes. Portanto essas são as dimensões que minimizam o gasto de material.

Resposta

As dimensões que minimizam o gasto de material são 50 m por 100 m.

Exercícios relacionados