Determine e classifique os pontos críticos da função
.
.
Passo 1
A gente tem a função
. O objetivo é achar os pontos críticos (onde o gradiente
) e depois usar a matriz Hessiana para classificá-los (mínimo, máximo ou sela).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais para montar o gradiente:
Passo 3
Agora igualamos cada derivada parcial a zero e resolvemos:
Para :
Para
Para
:
Logo, os pontos críticos são (3,0), (3,2), (-1,0) e (-1,2).
Passo 4
Precisamos da Hessiana para classificar. As segundas derivadas são:
O discriminante em
é
Passo 5
Vamos avaliar
,
e
em cada ponto e aplicar o teste:
(3,0):
(3,0):
→ ponto de sela.
(3,2):
(3,2):
Como
e
, é mínimo local.
(-1,0):
(-1,0):
Como
e
, é máximo local.
(-1,2):
(-1,2):
→ ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos são (3,0) e (-1,2), ambos pontos de sela; (3,2), mínimo local; e (-1,0), máximo local.