Determine e classifique os pontos críticos da função f.
f(x, y)=x^3+y^3-3 x^2-3 y^2-9 x.

Passo 1

A gente tem a função f(x,y)=x^3+y^3-3x^2-3y^2-9x. O objetivo é achar os pontos críticos (onde o gradiente nabla f=0) e depois usar a matriz Hessiana para classificá-los (mínimo, máximo ou sela).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais para montar o gradiente:
partial fpartial x=3x^2-6x-9
partial fpartial y=3y^2-6y

Passo 3

Agora igualamos cada derivada parcial a zero e resolvemos:
Para partial f/partial x=0:
3x^2-6x-9=0implies x^2-2x-3=0implies x=3 ou x=-1
Para partial f/partial y=0:
3y^2-6y=0implies y(y-2)=0implies y=0 ou y=2
Logo, os pontos críticos são (3,0), (3,2), (-1,0) e (-1,2).

Passo 4

Precisamos da Hessiana para classificar. As segundas derivadas são:
fxx=6x-6, fyy=6y-6, fxy=0
O discriminante em (x,y) é
D(x,y)=fxx(x,y)cdot fyy(x,y)-l(fxy(x,y)r)^2

Passo 5

Vamos avaliar fxx, fyy e D em cada ponto e aplicar o teste:
(3,0):
fxx=12, fyy=-6, D=12cdot(-6)=-72<0
→ ponto de sela.
(3,2):
fxx=12, fyy=6, D=12cdot6=72>0
Como D>0 e fxx>0, é mínimo local.
(-1,0):
fxx=-12, fyy=-6, D=(-12)cdot(-6)=72>0
Como D>0 e fxx<0, é máximo local.
(-1,2):
fxx=-12, fyy=6, D=(-12)cdot6=-72<0
→ ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são (3,0) e (-1,2), ambos pontos de sela; (3,2), mínimo local; e (-1,0), máximo local.

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