Determine e classifique os pontos críticos da função f.
f(x, y)=4 x+6 y-x^2-y^2.

Passo 1

No enunciado temos a função f(x,y)=4x+6y-x^2-y^2. O conteúdo envolvido é cálculo de pontos críticos de funções de duas variáveis, usando derivadas parciais e o teste da segunda derivada (Hessiana).

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=4-2x,
partial fpartial y=6-2y
Igualando-as a zero, obtemos
4-2x=0implies x=2,
6-2y=0implies y=3
Logo, o único ponto crítico é (2,3).

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana
H=fxx & fxy fxy & fyy =-2 & 00 & -2
Calculamos o discriminante
D=fxxfyy-(fxy)^2=(-2)(-2)-0^2=4>0
Como D>0 e fxx=-2<0, pelo teste da segunda derivada o ponto é de máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é (2,3) e ele é um ponto de máximo local.

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