Seja
um campo vetorial contínuo em
. Justifique as igualdades.
(d)
, onde
, e
(d)
Passo 1
O enunciado pede para justificar que as integrais de linha sobre as curvas γ₁(t)=(t,t³), t∈[−1,1], e γ₂(u)=(1−u,(1−u)³), u∈[0,2], satisfazem ∫_{γ₁}F·dγ₁=−∫_{γ₂}F·dγ₂. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial e a propriedade de inversão de orientação via reparametrização.
Passo 2
Note que se definirmos t=1−u então, para u∈[0,2], t varia de 1 até −1 e temos γ₂(u)=γ₁(1−u)=γ₁(t). Assim γ₂ é a mesma curva de γ₁ percorrida em sentido contrário.
Derivando, γ₂’(u)=d/du[γ₁(1−u)]=−γ₁’(1−u). Em outras palavras, o vetor tangente de γ₂ é o negativo do vetor tangente de γ₁ reparametrizado.
Derivando, γ₂’(u)=d/du[γ₁(1−u)]=−γ₁’(1−u). Em outras palavras, o vetor tangente de γ₂ é o negativo do vetor tangente de γ₁ reparametrizado.
Passo 3
Escrevendo a integral sobre γ₂ em termos de u temos:
Fazendo agora a troca de variável t=1−u (logo du=−dt), os limites vão de u=0→2 para t=1→−1 e obtemos
Reorganizando, segue que
.
Resposta
Como γ₂ é γ₁ reparametrizada no sentido inverso, pela propriedade de inversão de orientação das integrais de linha segue-se que
.