Seja F um campo vetorial contínuo em R^2. Justifique as igualdades.
(d) integralgamma1 F cdot d gamma1=-integralgamma2 F cdot d gamma2, onde gamma1(t)=(t, t^3),-1 <= t <= 1, e gamma2(u)=(1-u,(1-u)^3), 0 <=

Passo 1

O enunciado pede para justificar que as integrais de linha sobre as curvas γ₁(t)=(t,t³), t∈[−1,1], e γ₂(u)=(1−u,(1−u)³), u∈[0,2], satisfazem ∫_{γ₁}F·dγ₁=−∫_{γ₂}F·dγ₂. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial e a propriedade de inversão de orientação via reparametrização.

Passo 2

Note que se definirmos t=1−u então, para u∈[0,2], t varia de 1 até −1 e temos γ₂(u)=γ₁(1−u)=γ₁(t). Assim γ₂ é a mesma curva de γ₁ percorrida em sentido contrário.
Derivando, γ₂’(u)=d/du[γ₁(1−u)]=−γ₁’(1−u). Em outras palavras, o vetor tangente de γ₂ é o negativo do vetor tangente de γ₁ reparametrizado.

Passo 3

Escrevendo a integral sobre γ₂ em termos de u temos:
integralγ₂Fcdot dγ₂=integral0^2Fl(γ₂(u)r)cdot γ₂'(u),du=integral0^2Fl(γ₁(1−u)r)cdotl(-γ₁'(1−u)r),du
Fazendo agora a troca de variável t=1−u (logo du=−dt), os limites vão de u=0→2 para t=1→−1 e obtemos
integralγ₂Fcdot dγ₂=integralt=1^t=−1Fl(γ₁(t)r)cdot γ₁'(t),dt=-integral−1^1Fl(γ₁(t)r)cdot γ₁'(t),dt=-integralγ₁Fcdot dγ₁
Reorganizando, segue que integralγ₁Fcdot dγ₁=-integralγ₂Fcdot dγ₂.

Resposta

Como γ₂ é γ₁ reparametrizada no sentido inverso, pela propriedade de inversão de orientação das integrais de linha segue-se que integralγ₁vec Fcdot dγ₁=-integralγ₂vec Fcdot dγ₂.

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