Determine e classifique os pontos críticos da função nos casos
f(x, y)=(x^2-y^2) e^-(x^2+y^2) / 2

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos de
f(x,y) = l(x^2 - y^2r),e^-x^2+y^22
O conteúdo necessário é cálculo de derivadas parciais para encontrar os pontos críticos ( nabla f=0) e uso do teste da segunda derivada (Hessiano) para classificação.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais. Seja r^2=x^2+y^2.
  1. Derivada em relação a x: fx = partialpartial xl(x^2-y^2r),e^-r^2/2 = e^-r^2/2l(2xr) +l(x^2-y^2r),e^-r^2/2l(-xr) = e^-r^2/2,xl[2 - (x^2-y^2)r]
  2. Derivada em relação a y: fy = partialpartial yl(x^2-y^2r),e^-r^2/2 = e^-r^2/2l(-2yr) +l(x^2-y^2r),e^-r^2/2l(-yr) = -,e^-r^2/2,yl[2 + (x^2-y^2)r]

Passo 3

Impondo fx=0 e fy=0:
fx=0Longrightarrow x=0ou x^2-y^2=2,
fy=0Longrightarrow y=0ou x^2-y^2=-2
Conjugando as possibilidades, os únicos pontos que satisfazem simultaneamente são
(0,0), (pmraiz2,0), (0,pmraiz2)

Passo 4

Para classificar, calculamos as segundas derivadas no ponto genérico e avaliamos em cada crítico. O Hessiano é
H = fxx & fxy[6pt] fyx & fyy ,
e o determinante D = fxxfyy-fxy^2. O sinal de D e de fxx diz se é mínimo ( D>0,fxx>0), máximo ( D>0,fxx<0) ou sela ( D<0).]

Passo 5

Avaliando em (0,0): perto da origem e^-r^2/2approx1 e f(x,y)approx x^2-y^2, que é uma forma de sela. Logo (0,0) é ponto de sela.

Passo 6

Avaliando em l(pmraiz2,0r):
r^2=2, e^-r^2/2=e^-1, fxx=-4e^-1, fyy=-4e^-1, fxy=0
implies D=16e^-2>0 e fxx<0. Logo são pontos de máximo local. O valor é
f(pmraiz2,0) = l(2-0r)e^-1 = 2e^-1

Passo 7

Avaliando em l(0,pmraiz2r):
r^2=2, e^-r^2/2=e^-1, fxx=4e^-1, fyy=4e^-1, fxy=0
implies D=16e^-2>0 e fxx>0. Logo são pontos de mínimo local. O valor é
fl(0,pmraiz2r) = l(0-2r)e^-1 = -2e^-1

Resposta

(0,0) ponto de sela.
(pmraiz2,0) máximos locais, f=2e^-1.
l(0,pmraiz2r) mínimos locais, f=-2e^-1.

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