Determine e classifique os pontos críticos da função nos casos
Passo 1
O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos de
O conteúdo necessário é cálculo de derivadas parciais para encontrar os pontos críticos (
) e uso do teste da segunda derivada (Hessiano) para classificação.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais. Seja
.
- Derivada em relação a
: - Derivada em relação a
:
Passo 3
Impondo
e
:
Conjugando as possibilidades, os únicos pontos que satisfazem simultaneamente são
Passo 4
Para classificar, calculamos as segundas derivadas no ponto genérico e avaliamos em cada crítico. O Hessiano é
e o determinante
. O sinal de
e de
diz se é mínimo (
), máximo (
) ou sela (
).]
Passo 5
Avaliando em
: perto da origem
e
, que é uma forma de sela. Logo
é ponto de sela.
Passo 6
Avaliando em
:
Passo 7
Avaliando em
:
Resposta
(0,0) ponto de sela.
máximos locais,
.
mínimos locais,
.