Questão 3: Utilizando a questão anterior, calcule:
integral duplaA x ln (y) d x d y, onde A=[0,2] times[1,2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de ,xln(y), sobre o retângulo
A = [0,2]times[1,2]
O conteúdo aqui é usar o Teorema de Fubini para escrever a integral como iterada e, como a função separa em x vezes ln(y), fatorar em duas integrais simples.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini,
integral duplaA xln(y),dx,dy =integralx=0^2!integraly=1^2xln(y),dy,dx
e, como x não depende de y e ln(y) não depende de x, podemos fatorar:
integral duplaA xln(y),dx,dy =l(integral0^2x,dxr);l(integral1^2ln(y),dyr)

Passo 3

Calculamos
integral0^2x,dx =[x^22]0^2 =2^22-0 =2

Passo 4

Agora calculamos
integral1^2ln(y),dy
Usamos a primitivação por partes com u=ln(y), dv=dy, obtendo
integralln(y),dy =yln(y)-y+C
Logo,
integral1^2ln(y),dy =l[,yln(y)-y,r]1^2 =l(2ln(2)-2r)-l(1cdot0-1r) =2ln(2)-2+1 =2ln(2)-1

Passo 5

Multiplicando os resultados de cada integral:
integral duplaA xln(y),dx,dy =2;l(2ln(2)-1r) =4ln(2)-2

Resposta

4ln(2)-2

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