Determine e classifique os pontos críticos da função
Passo 1
Temos a função f(x,y)=10 x^2 y−5 x^2−4 y2−x4−2 y^4. O objetivo é encontrar os pontos críticos (onde ∇f=0) e, em seguida, usar a Hessiana para decidir se cada ponto é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de f. Precisamos de f_x e f_y e igualar a zero.
Passo 3
As derivadas parciais são
Passo 4
Para achar ∇f=0, primeiro considere o caso x=0. Substituindo em f_x=0 obtemos 0=0 trivial, e em f_y=0: −8y(1+y^2)=0, logo y=0. Assim há o ponto crítico (0,0).
Passo 5
Agora suponha x≠0. Da equação f_x=0 factorizamos x e obtemos
Como x≠0, vem
Substituindo em f_y=0 gera uma equação em t=x^2.
Passo 6
Definindo t=x^2≥0 e y_0=(5+2t)/10, a condição f_y=0 vira
que se reduz, após manipulação algébrica, ao polinômio
Passo 7
Resolvendo numericamente esse polinômio, encontram-se duas raízes reais positivas:
t_1≈0.74 e t_2≈6.85. Logo x=±√t_i e y_i=(5+2t_i)/10 dão dois pares de pontos críticos:
(±0.857,0.647) e (±2.62,1.87).
t_1≈0.74 e t_2≈6.85. Logo x=±√t_i e y_i=(5+2t_i)/10 dão dois pares de pontos críticos:
(±0.857,0.647) e (±2.62,1.87).
Passo 8
Para classificar, montamos a Hessiana
onde
Calculamos o determinante D=f_{xx}f_{yy}−(f_{xy})^2 e o sinal de f_{xx} em cada ponto.
Passo 9
No ponto (0,0): f_{xx}=-10<0, f_{yy}=-8<0, D=80>0 → máximo local.
Nos pontos (±0.857,0.647): D<0 → ponto de sela.
Nos pontos (±2.62,1.87): D>0 e f_{xx}<0 → máximo local.
Nos pontos (±0.857,0.647): D<0 → ponto de sela.
Nos pontos (±2.62,1.87): D>0 e f_{xx}<0 → máximo local.
Resposta
Os pontos críticos são:
(0,0) → máximo local;
aproximadamente (±0.857, 0.647) → ponto de sela;
aproximadamente (±2.62, 1.87) → máximo local.
(0,0) → máximo local;
aproximadamente (±0.857, 0.647) → ponto de sela;
aproximadamente (±2.62, 1.87) → máximo local.