Determine e classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=10 x^2 y-5 x^2-4 y^2-x^4-2 y^4

Passo 1

Temos a função f(x,y)=10 x^2 y−5 x^2−4 y2−x4−2 y^4. O objetivo é encontrar os pontos críticos (onde ∇f=0) e, em seguida, usar a Hessiana para decidir se cada ponto é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Precisamos de f_x e f_y e igualar a zero.

Passo 3

As derivadas parciais são
fx=partial fpartial x=20xy−10x−4x^3
fy=partial fpartial y=10x^2−8y−8y^3

Passo 4

Para achar ∇f=0, primeiro considere o caso x=0. Substituindo em f_x=0 obtemos 0=0 trivial, e em f_y=0: −8y(1+y^2)=0, logo y=0. Assim há o ponto crítico (0,0).

Passo 5

Agora suponha x≠0. Da equação f_x=0 factorizamos x e obtemos
20xy−10x−4x^3=2xl(10y−5−2x^2r)=0
Como x≠0, vem
y=5+2x^210equiv y(x)
Substituindo em f_y=0 gera uma equação em t=x^2.

Passo 6

Definindo t=x^2≥0 e y_0=(5+2t)/10, a condição f_y=0 vira
10t−8y0−8y0^3=0
que se reduz, após manipulação algébrica, ao polinômio
8t^3+60t^2−900t+625=0

Passo 7

Resolvendo numericamente esse polinômio, encontram-se duas raízes reais positivas:
t_1≈0.74 e t_2≈6.85. Logo x=±√t_i e y_i=(5+2t_i)/10 dão dois pares de pontos críticos:
(±0.857,0.647) e (±2.62,1.87).

Passo 8

Para classificar, montamos a Hessiana
H=fxx&fxyfyx&fyy,
onde
fxx=20y−10−12x^2, fyy=-8−24y^2, fxy=fyx=20x
Calculamos o determinante D=f_{xx}f_{yy}−(f_{xy})^2 e o sinal de f_{xx} em cada ponto.

Passo 9

No ponto (0,0): f_{xx}=-10<0, f_{yy}=-8<0, D=80>0 → máximo local.
Nos pontos (±0.857,0.647): D<0 → ponto de sela.
Nos pontos (±2.62,1.87): D>0 e f_{xx}<0 → máximo local.

Resposta

Os pontos críticos são:
(0,0) → máximo local;
aproximadamente (±0.857, 0.647) → ponto de sela;
aproximadamente (±2.62, 1.87) → máximo local.

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