Dada a função
encontre:
A) (Valor 1 ponto)
e
A) (Valor 1 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as derivadas parciais da função $ f(x, y) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} $ nos pontos $ (1, 2) $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas parciais, que medem como a função muda em relação a uma variável enquanto a outra permanece fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
A função é $ f(x, y) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} $. Para derivar isso em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ \sqrt{u} $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{2\sqrt{u}} $. Aqui, $ u = (x-1)^2 + (y-1)^2 $.
Então, temos:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ no ponto $ (1, 2) $. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 2 $:
Passo 6
De forma similar, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Passo 7
Agora, calculamos $ \frac{\partial f}{\partial y} $ no ponto $ (1, 2) $:
Resposta
Portanto, as derivadas parciais da função $ f $ no ponto $ (1, 2) $ são: