Determine o máximo e o mínimo absolutos da função
na região
. Sugestão. Estas funções já apareceram no exercício P1.
é a região fechada delimitada pelo quadrado de vértices
,
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Queremos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} + x^{2} y + 4 $ na região $ R $, que é um quadrado com vértices nos pontos
,
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente análise de extremos em regiões fechadas e limitadas.
Passo 2
Para encontrar os máximos e mínimos absolutos de $ f $ na região $ R $, precisamos verificar dois lugares:
- Os pontos críticos internos à região $ R $.
- Os pontos nos limites de $ R $, ou seja, nas bordas do quadrado.
Os extremos absolutos devem estar em um desses lugares.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos internos. Isso é feito encontrando onde as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ são zero.
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1):
Isso nos dá duas possibilidades:
a) $ x = 0 $
b) $ 1 + y = 0 $ então $ y = -1 $
Passo 5
Considerando a possibilidade a) $ x = 0 $, substituímos na equação (2):
Então, temos um ponto crítico interno: $ (0, 0) $
Agora, na possibilidade b) $ y = -1 $, substituímos na equação (2):
No entanto, como $ x \in [-1, 1] $ na região $ R $, não existem soluções para $ x $, portanto, apenas o ponto $ (0, 0) $ é ponto crítico interno.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor de $ f $ nesse ponto crítico:
Passo 7
Em seguida, precisamos analisar os valores de $ f $ nas bordas do quadrado $ R $. As bordas podem ser representadas por quatro segmentos:
- $ x = -1 $, $ y \in [-1, 1] $
- $ x = 1 $, $ y \in [-1, 1] $
- $ y = -1 $, $ x \in [-1, 1] $
- $ y = 1 $, $ x \in [-1, 1] $
Vamos avaliar $ f $ em cada um desses segmentos.
Passo 8
Primeiro, para a borda $ x = -1 $:
Esta é uma função quadrática em $ y $. Para encontrar seus extremos, derivamos em relação a $ y $:
Como $ y \in [-1, 1] $, este ponto está dentro do intervalo. Avaliamos $ f $ em $ y = -\frac{1}{2} $:
Além disso, avaliamos em $ y = -1 $ e $ y = 1 $:
Passo 9
Agora, para a borda $ x = 1 $:
Mesma função que na borda $ x = -1 $. Derivando em relação a $ y $:
Avaliamos $ f $ em $ y = -\frac{1}{2} $:
E em $ y = -1 $ e $ y = 1 $:
Passo 10
Para a borda $ y = -1 $:
Esta é uma constante em $ x $, portanto, não há extremos adicionais além das avaliações nos cantos: $ x \in [-1, 1] $:
Passo 11
Por fim, para a borda $ y = 1 $:
Esta é uma função quadrática em $ x $. Para encontrar seus extremos, derivamos em relação a $ x $:
Avaliamos $ f $ em $ x = 0 $:
Além disso, avaliamos em $ x = -1 $ e $ x = 1 $:
Passo 12
Agora, vamos resumir todos os valores encontrados:
- Ponto interno $ (0, 0) $: $ f = 4 $
- Pontos na borda $ x = -1 $:
- $ y = -\frac{1}{2} $: $ f = 4.75 $
- $ y = -1 $: $ f = 5 $
- $ y = 1 $: $ f = 7 $
- Pontos na borda $ x = 1 $:
- $ y = -\frac{1}{2} $: $ f = 4.75 $
- $ y = -1 $: $ f = 5 $
- $ y = 1 $: $ f = 7 $
- Pontos nas bordas $ y = -1 $ e $ y = 1 $:
- $ y = -1 $: $ f = 5 $
- $ y = 1 $: $ f = 5 $
- $ x = 0 $, $ y = 1 $: $ f = 5 $
Resposta
O máximo absoluto da função na região $ R $ é $ 7 $ e o mínimo absoluto é $ 4 $.