Determine o máximo e o mínimo absolutos da função f na região R. Sugestão. Estas funções já apareceram no exercício P1.
f(x, y)=x^2+y^2+x^2 y+4, R é a região fechada delimitada pelo quadrado de vértices (-1,-1), (-1,1),(1,1) e (1,-1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Queremos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} + x^{2} y + 4 $ na região $ R $, que é um quadrado com vértices nos pontos f(x, y) = x^2 + y^2 + x^2 y + 4 , R , (-1, -1) e (-1, 1). Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente análise de extremos em regiões fechadas e limitadas.

Passo 2

Para encontrar os máximos e mínimos absolutos de $ f $ na região $ R $, precisamos verificar dois lugares:
  1. Os pontos críticos internos à região $ R $.
  2. Os pontos nos limites de $ R $, ou seja, nas bordas do quadrado.
Os extremos absolutos devem estar em um desses lugares.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos internos. Isso é feito encontrando onde as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ são zero.
Calculando as derivadas parciais:
f
x

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações:
2x + 2x y = 0 (1)
2y + x^2 = 0 (2)
Da equação (1):
2x (1 + y) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
a) $ x = 0 $
b) $ 1 + y = 0 $ então $ y = -1 $

Passo 5

Considerando a possibilidade a) $ x = 0 $, substituímos na equação (2):
x = 0
Então, temos um ponto crítico interno: $ (0, 0) $
Agora, na possibilidade b) $ y = -1 $, substituímos na equação (2):
2y + (0)^2 = 0 implies 2y = 0 implies y = 0
No entanto, como $ x \in [-1, 1] $ na região $ R $, não existem soluções para $ x $, portanto, apenas o ponto $ (0, 0) $ é ponto crítico interno.

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor de $ f $ nesse ponto crítico:
f

Passo 7

Em seguida, precisamos analisar os valores de $ f $ nas bordas do quadrado $ R $. As bordas podem ser representadas por quatro segmentos:
  1. $ x = -1 $, $ y \in [-1, 1] $
  2. $ x = 1 $, $ y \in [-1, 1] $
  3. $ y = -1 $, $ x \in [-1, 1] $
  4. $ y = 1 $, $ x \in [-1, 1] $
Vamos avaliar $ f $ em cada um desses segmentos.

Passo 8

Primeiro, para a borda $ x = -1 $:
x = -1
Esta é uma função quadrática em $ y $. Para encontrar seus extremos, derivamos em relação a $ y $:
f(-1, y) = (-1)^2 + y^2 + (-1)^2 cdot y + 4 = 1 + y^2 + y + 4 = y^2 + y + 5
Como $ y \in [-1, 1] $, este ponto está dentro do intervalo. Avaliamos $ f $ em $ y = -\frac{1}{2} $:
y
Além disso, avaliamos em $ y = -1 $ e $ y = 1 $:
y
ddy (y^2 + y + 5) = 2y + 1 = 0 implies y = -12

Passo 9

Agora, para a borda $ x = 1 $:
x = 1
Mesma função que na borda $ x = -1 $. Derivando em relação a $ y $:
f(1, y) = (1)^2 + y^2 + (1)^2 cdot y + 4 = 1 + y^2 + y + 4 = y^2 + y + 5
Avaliamos $ f $ em $ y = -\frac{1}{2} $:
x = -1
E em $ y = -1 $ e $ y = 1 $:
y
2y + 1 = 0 implies y = -12

Passo 10

Para a borda $ y = -1 $:
y = -1
Esta é uma constante em $ x $, portanto, não há extremos adicionais além das avaliações nos cantos: $ x \in [-1, 1] $:
f(x, -1) = x^2 + (-1)^2 + x^2 cdot (-1) + 4 = x^2 + 1 - x^2 + 4 = 1 + 4 = 5

Passo 11

Por fim, para a borda $ y = 1 $:
y = 1
Esta é uma função quadrática em $ x $. Para encontrar seus extremos, derivamos em relação a $ x $:
f(x, 1) = x^2 + 1^2 + x^2 cdot 1 + 4 = x^2 + 1 + x^2 + 4 = 2x^2 + 5
Avaliamos $ f $ em $ x = 0 $:
x
Além disso, avaliamos em $ x = -1 $ e $ x = 1 $:
x
ddx (2x^2 + 5) = 4x = 0 implies x = 0

Passo 12

Agora, vamos resumir todos os valores encontrados:
  • Ponto interno $ (0, 0) $: $ f = 4 $
  • Pontos na borda $ x = -1 $:
    • $ y = -\frac{1}{2} $: $ f = 4.75 $
    • $ y = -1 $: $ f = 5 $
    • $ y = 1 $: $ f = 7 $
  • Pontos na borda $ x = 1 $:
    • $ y = -\frac{1}{2} $: $ f = 4.75 $
    • $ y = -1 $: $ f = 5 $
    • $ y = 1 $: $ f = 7 $
  • Pontos nas bordas $ y = -1 $ e $ y = 1 $:
    • $ y = -1 $: $ f = 5 $
    • $ y = 1 $: $ f = 5 $
    • $ x = 0 $, $ y = 1 $: $ f = 5 $

Resposta

O máximo absoluto da função na região $ R $ é $ 7 $ e o mínimo absoluto é $ 4 $.

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