Determine o máximo e o mínimo absolutos da função
na região
. Sugestão. Estas funções já apareceram no exercício P1.
e
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar o máximo e mínimo absolutos de f(x,y)=x²+xy+y²+6y no retângulo R={-3≤x≤3, 0≤y≤5}. Vamos usar o método padrão: achar pontos críticos internos e depois examinar as fronteiras.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente de f:
e
. Igualando a zero, temos o sistema
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
leva a
e
. Como
não está em [0,5], não há pontos críticos internos em R.
Passo 3
Agora vamos examinar a aresta x=-3, com y∈[0,5]. Defina
. A derivada
se anula em
, fora do intervalo. Então os extremos ocorrem em y=0 e y=5:
Passo 4
Na aresta x=3, com y∈[0,5], define-se
. A derivada
zera em y=-4.5, fora de [0,5], então confere só os extremos:
Passo 5
Na aresta y=0, com x∈[-3,3], temos
. A derivada
zera em x=0 (interno ao intervalo). Logo:
Passo 6
Na aresta y=5, com x∈[-3,3], define
. A derivada
zera em x=-2.5, que está em [-3,3]. Então:
Passo 7
Agora reunimos todos os valores obtidos: 0, 9, 48.75, 49 e 79. O menor é 0 em (0,0) e o maior é 79 em (3,5).
Resposta
Mínimo absoluto:
. Máximo absoluto:
.