Determine o máximo e o mínimo absolutos da função f na região R. Sugestão. Estas funções já apareceram no exercício P1.
f(x, y)=x^2+x y+y^2+6 y, R=(x, y) in R^2 mid-3 <= x <= 3 e 0 <= y <= 5.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o máximo e mínimo absolutos de f(x,y)=x²+xy+y²+6y no retângulo R={-3≤x≤3, 0≤y≤5}. Vamos usar o método padrão: achar pontos críticos internos e depois examinar as fronteiras.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f: fx=2x+y e fy=x+2y+6. Igualando a zero, temos o sistema
2x+y=0 x+2y+6=0
Da primeira equação y=-2x. Substituindo na segunda: x+2(-2x)+6=0 leva a x=2 e y=-4. Como y=-4 não está em [0,5], não há pontos críticos internos em R.

Passo 3

Agora vamos examinar a aresta x=-3, com y∈[0,5]. Defina g(y)=f(-3,y)=(-3)²+(-3)y+y²+6y=y²+3y+9²²². A derivada g'(y)=2y+3 se anula em y=-3/2, fora do intervalo. Então os extremos ocorrem em y=0 e y=5:
g(0)=9, g(5)=25+15+9=49

Passo 4

Na aresta x=3, com y∈[0,5], define-se h(y)=f(3,y)=9+3y+y²+6y=y²+9y+9²². A derivada h'(y)=2y+9 zera em y=-4.5, fora de [0,5], então confere só os extremos:
h(0)=9, h(5)=25+45+9=79

Passo 5

Na aresta y=0, com x∈[-3,3], temos p(x)=f(x,0)=x²². A derivada p'(x)=2x zera em x=0 (interno ao intervalo). Logo:
p(0)=0, p(±3)=9

Passo 6

Na aresta y=5, com x∈[-3,3], define q(x)=f(x,5)=x²+5x+25+30=x²+5x+55²². A derivada q'(x)=2x+5 zera em x=-2.5, que está em [-3,3]. Então:
q(-2.5)=6.25-12.5+55=48.75, q(-3)=9-15+55=49, q(3)=9+15+55=79

Passo 7

Agora reunimos todos os valores obtidos: 0, 9, 48.75, 49 e 79. O menor é 0 em (0,0) e o maior é 79 em (3,5).

Resposta

Mínimo absoluto: f(0,0)=0. Máximo absoluto: f(3,5)=79.

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