O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais para achar pontos críticos (gradiente zero) e, em seguida, usar o teste da matriz Hessiana ou argumentos de sinal da função para classificar esses pontos.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de .
O gradiente é
Passo 3
Para achar os pontos críticos, igualamos cada componente do gradiente a zero:
Logo existe um único ponto crítico: .
Passo 4
Agora montamos a matriz Hessiana, cujos elementos são segundas derivadas:
No ponto (0,0) isso vira
H(0,0)=0&00&0,
ou seja, a Hessiana é a matriz zero e o teste quadrático convencional (determinantes principais) fica inconclusivo.
Passo 5
Mesmo com a Hessiana degenerada, podemos olhar para o valor de f. Como x^4>=0 e y^4>=0 para todos (x,y), segue que
f(x,y)=x^4+y^4>=0
e atinge zero só em (0,0). Isso mostra que (0,0) é ponto de mínimo (na verdade mínimo global), pois em qualquer outro lugar f(x,y)>0.
Resposta
O único ponto crítico é (0,0), e ele é um ponto de mínimo global.