Determine e classifique os pontos críticos.
(g) f(x, y)=x^4+y^4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis
f(x,y)=x^4+y^4
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais para achar pontos críticos (gradiente zero) e, em seguida, usar o teste da matriz Hessiana ou argumentos de sinal da função para classificar esses pontos.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f.
partial fpartial x(x,y)=4x^3, partial fpartial y(x,y)=4y^3
O gradiente é
nabla f(x,y) = l(4x^3,,4y^3r)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos cada componente do gradiente a zero:
4x^3=0 implies x=0, 4y^3=0 implies y=0
Logo existe um único ponto crítico: (0,0).

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana, cujos elementos são segundas derivadas:
H(x,y) = partial^2fpartial x^2 & partial^2fpartial x,partial y partial^2fpartial y,partial x & partial^2fpartial y^2 = 12x^2 & 0 0 & 12y^2
No ponto (0,0) isso vira
H(0,0)=0&00&0,
ou seja, a Hessiana é a matriz zero e o teste quadrático convencional (determinantes principais) fica inconclusivo.

Passo 5

Mesmo com a Hessiana degenerada, podemos olhar para o valor de f. Como x^4>=0 e y^4>=0 para todos (x,y), segue que
f(x,y)=x^4+y^4>=0
e atinge zero só em (0,0). Isso mostra que (0,0) é ponto de mínimo (na verdade mínimo global), pois em qualquer outro lugar f(x,y)>0.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), e ele é um ponto de mínimo global.

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