Exercício 1.8.1. Para cada função, determine o domínio e o conjunto imagem.
f(x, y, z)=x^2x^2+y^2+z^2.

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o conjunto imagem da função
f(x,y,z)=x^2x^2+y^2+z^2
O conteúdo aqui é análise de domínio (evitar denominador zero) e estudo de imagem de quociente de expressões não negativas.

Passo 2

Para o domínio, exigimos que o denominador não seja zero, ou seja
x^2+y^2+z^2neq 0
Isso exclui apenas o ponto (0,0,0), pois em qualquer outro ponto a soma de quadrados é positiva.

Passo 3

Para o conjunto imagem, observamos que x^2>= 0 e x^2+y^2+z^2>0, então
0 <= x^2x^2+y^2+z^2 <= 1
Logo f assume valores entre 0 e 1.

Passo 4

Verificamos se os extremos são atingidos:
  • Para f=0: basta x=0 e (y,z)neq(0,0), daí f=0.
  • Para f=1: damos y=z=0 e xneq0, daí
f(x,0,0)=x^2x^2=1
Assim todos os valores de [0,1] são obtidos.

Resposta

Domínio: (x,y,z)inR^3mid (x,y,z)neq(0,0,0)
Imagem: [0,1]

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