Limites: Calcule os seguintes limites abaixo se existirem. Caso contrário, justifique a não existência.
lim x -infty(raizc x^2+a x-raizc x^2+b x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto -inftyl(raizc x^2+a x-raizc x^2+b xr)
O conteúdo principal é a manipulação de radicais para encontrar a forma dominante quando xto -infty. Vamos usar a técnica de racionalização e, em seguida, analisar o comportamento assintótico dos termos.

Passo 2

Para que as expressões dentro das raízes sejam não negativas para xto -infty precisamos de c>0. Se c<= 0, para x grande e negativo algum dos radicandos fica negativo e não faz sentido real, logo o limite não existe no conjunto dos reais. A partir de agora assumimos c>0.

Passo 3

Racionalizamos a diferença multiplicando numerador e denominador pela soma das raízes:
raizc x^2+a x-raizc x^2+b x =(c x^2+a x)-(c x^2+b x)raizc x^2+a x+raizc x^2+b x =(a-b)xraizc x^2+a x+raizc x^2+b x

Passo 4

Para xto -infty temos raizc x^2+a xsimraizc x^2=lvert xrvertraizc=-xraizc (pois x<0). O mesmo vale para raizc x^2+b x. Logo o denominador se comporta como
raizc x^2+a x+raizc x^2+b xsim -xraizc;+;-xraizc=-2xraizc

Passo 5

Substituindo essas aproximações no quociente obtemos
(a-b)xraizc x^2+a x+raizc x^2+b x ;sim;(a-b)x-2xraizc =a-b-2raizc =b-a2raizc
Portanto o limite existe e vale tfracb-a2raizc.

Resposta

limxto -inftyl(raizc x^2+a x-raizc x^2+b xr) =b-a2raizc, c>0
Se c<= 0, o limite não existe em R.

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