Limites: Calcule os seguintes limites abaixo se existirem. Caso contrário, justifique a não existência.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
O conteúdo principal é a manipulação de radicais para encontrar a forma dominante quando
. Vamos usar a técnica de racionalização e, em seguida, analisar o comportamento assintótico dos termos.
Passo 2
Para que as expressões dentro das raízes sejam não negativas para
precisamos de
. Se
, para
grande e negativo algum dos radicandos fica negativo e não faz sentido real, logo o limite não existe no conjunto dos reais. A partir de agora assumimos
.
Passo 3
Racionalizamos a diferença multiplicando numerador e denominador pela soma das raízes:
Passo 4
Para
temos
(pois
). O mesmo vale para
. Logo o denominador se comporta como
Passo 5
Substituindo essas aproximações no quociente obtemos
Portanto o limite existe e vale
.
Resposta
Se
, o limite não existe em
.