(2.0) Determine e classifique os pontos críticos de g(x, y)=2 x^{4}+\frac{y^{3}}{3}-x^{2}-4 y em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de g(x,y)=2x^4+\frac{y^3}{3}-x^2-4y em \mathbb R^2 e sua classificação (mínimo, máximo ou ponto de sela). Vamos precisar calcular o gradiente \nabla g, resolver \nabla g=0 para encontrar os pontos críticos e usar o Hessiano para classificar cada um.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
g_x = \frac{\partial g}{\partial x} = 8x^3 - 2x, \qquad g_y = \frac{\partial g}{\partial y} = y^2 - 4.
Para pontos críticos, impomos
8x^3 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x(4x^2-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x\in\{0,\pm\tfrac12\},
y^2-4=0 \quad\Longrightarrow\quad y\in\{\,-2,2\}.
Logo são seis pontos críticos (x,y) com x\in\{0,\pm\tfrac12\} e y\in\{\,-2,2\}.

Passo 3

O Hessiano de g é a matriz
H(x,y) =\begin{pmatrix} g_{xx} & g_{xy}\\\ g_{yx} & g_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24x^2-2 & 0\\\\ 0 & 2y \end{pmatrix}.
Como H é diagonal, seu determinante é
D(x,y) = (24x^2-2)\,(2y).
Para classificar em cada ponto usamos:
  • se D>0 e g_{xx}>0: mínimo local;
  • se D>0 e g_{xx}<0: máximo local;
  • se D<0: ponto de sela.

Passo 4

Avaliação em cada ponto crítico:
  1. Em \bigl(0,2\bigr): g_{xx}=-2, g_{yy}=4, D=-8<0; \Rightarrow ponto de sela.
  2. Em \bigl(0,-2\bigr): g_{xx}=-2, g_{yy}=-4, D=8>0 e g_{xx}<0; \Rightarrow máximo local.
  3. Em \bigl(\tfrac12,2\bigr) e \bigl(-\tfrac12,2\bigr): g_{xx}=24\cdot\tfrac14-2=4, g_{yy}=4, D=16>0 e g_{xx}>0; \Rightarrow mínimo local.
  4. Em \bigl(\tfrac12,-2\bigr) e \bigl(-\tfrac12,-2\bigr): g_{xx}=4, g_{yy}=-4, D=-16<0; \Rightarrow ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são:
(0,2)\colon\text{sela},\quad (0,-2)\colon\text{máximo local},\quad \bigl(\pm\tfrac12,2\bigr)\colon\text{mínimos locais},\quad \bigl(\pm\tfrac12,-2\bigr)\colon\text{sela}.áí

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