Encontre o conjunto fundamental de soluções \left\{\mathfrak{Y}_{1}, \mathfrak{Y}_{2}\right\} para equação diferencial y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0
que satisfaçam as condições
\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} y_{1}(0)=1 \\\ y_{1}^{\prime}(0)=0 \end{array}\right. \\\ & \mathrm{e} \\\ & \left\{\begin{array}{l} y_{2}(0)=0 \\\ y_{2}^{\prime}(0)=1 \end{array}\right. \end{aligned}
Escolha uma opção:
y_{1}(t)=\frac{1}{3}\left(e^{-2 t}+3 e^{t}\right) e y_{2}(t)=-\frac{1}{2}\left(e^{-2 t}+e^{t}\right)
y_{1}(t)=\frac{1}{2}\left(e^{-2 t}+3 e^{t}\right) e y_{2}(t)=-\frac{1}{2}\left(e^{-t}+e^{t}\right)
Nenhuma das demais alternativas
y_{1}(t)=\frac{1}{2}\left(e^{-2 t}+2 e^{t}\right) e \mathfrak{Y}_{2}(t)=-\frac{1}{3}\left(e^{-t}+e^{t}\right)
y_{1}(t)=\frac{1}{3}\left(e^{-2 t}+2 e^{t}\right) e y_{2}(t)=-\frac{1}{3}\left(e^{-2 t}+e^{t}\right)
y_{1}(t)=\frac{1}{3}\left(e^{-2 t}+3 e^{t}\right) e y_{2}(t)=-\frac{1}{2}\left(e^{-t}+e^{t}\right)

Passo 1

O enunciado pede o conjunto fundamental de soluções \{\mathfrak{Y}_1,\mathfrak{Y}_2\} da EDO homogênea de 2º ordem
y'' + y' - 2y = 0
de modo que \mathfrak{Y}_1 satisfaça \mathfrak{Y}_1(0)=1,\;\mathfrak{Y}_1'(0)=0 e \mathfrak{Y}_2 satisfaça \mathfrak{Y}_2(0)=0,\;\mathfrak{Y}_2'(0)=1. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Montamos a equação característica associada:
r^2 + r - 2 = 0.
Resolvendo, temos
r = 1 \quad\text{ou}\quad r = -2.
Logo, a solução geral é
y(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{t}.

Passo 3

Para \mathfrak{Y}_1\), impomos \[\begin{cases} \mathfrak{Y}_1(0)=C_1 + C_2 = 1,\\\ \mathfrak{Y}_1'(0) = -2C_1 + C_2 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem C_2=2C_1\]. Substituindo em \(C_1+C_2=1 obtemos 3C_1=1, ou seja C_1=\tfrac13 e C_2=\tfrac23. Portanto
\mathfrak{Y}_1(t) = \tfrac13 e^{-2t} + \tfrac23 e^{t} = \tfrac13\bigl(e^{-2t} + 2e^{t}\bigr).

Passo 4

Para \mathfrak{Y}_2\), impomos \[\begin{cases} \mathfrak{Y}_2(0)=C_1 + C_2 = 0,\\\ \mathfrak{Y}_2'(0) = -2C_1 + C_2 = 1. \end{cases}
Da primeira equação vem C_2=-C_1\]. Substituindo na segunda, \(-2C_1 - C_1=1 C_1=-\tfrac13 e C_2=+\tfrac13. Então
\mathfrak{Y}_2(t) = -\tfrac13 e^{-2t} + \tfrac13 e^{t} = \tfrac13\bigl(e^{t} - e^{-2t}\bigr).

Passo 5

Comparando
\mathfrak{Y}_1(t)=\tfrac13\bigl(e^{-2t}+2e^t\bigr), \quad \mathfrak{Y}_2(t)=\tfrac13\bigl(e^t - e^{-2t}\bigr),
com as alternativas dadas, nenhuma coincide com esse par de funções.

Resposta

Nenhuma das demais alternativas

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