Determine quais dos pares de funções dadas são linearmente independentes nos intervalos indicados.
Escolha uma ou mais:
f(t)=t^{2}, g(t)=t^{3} em \mathbb{R}.
f(x)=e^{3 x}, g(x)=e^{3(x-2)} em \mathbb{R}.
f(t)=|t|, g(t)=2|t| em \mathbb{R}-\{0\}.
f(x)=3 x^{3}, g(x)=6 x^{3} em \mathbb{R}.
f(x)=\log _{2}(x), g(x)=\frac{\ln (x)}{\ln (2)} em x>0.
f(x)=\ln (x), g(x)=\frac{1}{x} em x>0.
f(x)=x, g(x)=\sqrt{x} em x>0.
f(x)=x^{2}, g(x)=5 x^{2} em \mathbb{R}.
f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=|x| em \mathbb{R}-\{0\}.

Passo 1

O enunciado fornece nove pares de funções e pede para identificar quais são linearmente independentes nos intervalos indicados. O conteúdo é Dependência e Independência Linear de funções reais, que diz que f e g são dependentes se existe constante c tal que g(x)=c\,f(x) em todo o intervalo; caso contrário são independentes.

Passo 2

Procuramos pares em que uma função é múltiplo escalar da outra, pois nesses casos há dependência linear:
– Em f(x)=e^{3x},\;g(x)=e^{3(x-2)} temos
\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{e^{3x-6}}{e^{3x}}=e^{-6},
constante, logo dependentes.
– Em f(t)=|t|,\;g(t)=2|t| basta \frac{g(t)}{f(t)}=2.
– Em f(x)=3x^3,\;g(x)=6x^3 temos \frac{g(x)}{f(x)}=2.
– Em f(x)=\log_{2}(x),\;g(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(2)} nota-se \log_{2}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(2)}, logo são iguais.
– Em f(x)=x^{2},\;g(x)=5x^{2} a razão é 5.
– Em f(x)=\sqrt{x^{2}},\;g(x)=|x| há igualdade \sqrt{x^{2}}=|x| para x\neq0.
Todos esses são dependentes.

Passo 3

Para f(t)=t^{2},\;g(t)=t^{3} em \mathbb{R} a razão
\frac{g(t)}{f(t)}=\frac{t^{3}}{t^{2}}=t
não é constante em \mathbb{R}. Como não existe constante c tal que t^3=c\,t^2 para todo t, as funções são linearmente independentes.

Passo 4

Para f(x)=\ln(x),\;g(x)=\tfrac1x em x>0 calculamos o Wronskiano:
W(f,g)(x) =\begin{vmatrix} \ln(x) & \tfrac1x\\[6pt] \tfrac1x & -\tfrac1{x^2} \end{vmatrix} =\ln(x)\,\Bigl(-\tfrac1{x^2}\Bigr)\;-\;\tfrac1x\;\tfrac1x =-\frac{\ln(x)+1}{x^2}.
Esse determinante não é identicamente zero em (0,\infty) (por exemplo em x=1 vale -1), logo f e g são independentes.]

Passo 5

Para f(x)=x,\;g(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} em x>0 a razão
\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{x^{1/2}}{x}=x^{-1/2}
não é constante. Não há c fixo com \sqrt{x}=c\,x para todo x>0. Assim, são linearmente independentes.

Resposta

Os pares linearmente independentes são: f(t)=t^{2},\;g(t)=t^{3} em \mathbb{R}. f(x)=\ln(x),\;g(x)=\tfrac1x em x>0. f(x)=x,\;g(x)=\sqrt{x} em x>0.

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