Determine quais dos pares de funções dadas são linearmente independentes nos intervalos indicados.
Escolha uma ou mais: f(t)=t^{2}, g(t)=t^{3} em \mathbb{R}. f(x)=e^{3 x}, g(x)=e^{3(x-2)} em \mathbb{R}. f(t)=|t|, g(t)=2|t| em \mathbb{R}-\{0\}. f(x)=3 x^{3}, g(x)=6 x^{3} em \mathbb{R}. f(x)=\log _{2}(x), g(x)=\frac{\ln (x)}{\ln (2)} em x>0. f(x)=\ln (x), g(x)=\frac{1}{x} em x>0. f(x)=x, g(x)=\sqrt{x} em x>0. f(x)=x^{2}, g(x)=5 x^{2} em \mathbb{R}. f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=|x| em \mathbb{R}-\{0\}.
Passo 1
O enunciado fornece nove pares de funções e pede para identificar quais são linearmente independentes nos intervalos indicados. O conteúdo é Dependência e Independência Linear de funções reais, que diz que f e g são dependentes se existe constante c tal que g(x)=c\,f(x) em todo o intervalo; caso contrário são independentes.
Passo 2
Procuramos pares em que uma função é múltiplo escalar da outra, pois nesses casos há dependência linear:
– Em f(x)=e^{3x},\;g(x)=e^{3(x-2)} temos
\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{e^{3x-6}}{e^{3x}}=e^{-6},
constante, logo dependentes.
– Em f(t)=|t|,\;g(t)=2|t| basta \frac{g(t)}{f(t)}=2.
– Em f(x)=3x^3,\;g(x)=6x^3 temos \frac{g(x)}{f(x)}=2.
– Em f(x)=\log_{2}(x),\;g(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(2)} nota-se \log_{2}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(2)}, logo são iguais.
– Em f(x)=x^{2},\;g(x)=5x^{2} a razão é 5.
– Em f(x)=\sqrt{x^{2}},\;g(x)=|x| há igualdade \sqrt{x^{2}}=|x| para x\neq0.
Todos esses são dependentes.
Passo 3
Para f(t)=t^{2},\;g(t)=t^{3} em \mathbb{R} a razão
\frac{g(t)}{f(t)}=\frac{t^{3}}{t^{2}}=t
não é constante em \mathbb{R}. Como não existe constante c tal que t^3=c\,t^2 para todo t, as funções são linearmente independentes.
Passo 4
Para f(x)=\ln(x),\;g(x)=\tfrac1x em x>0 calculamos o Wronskiano: