Determine e classifique os pontos críticos.
(j) z=x^2-5 x y-y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^2-5xy - y^2
Vamos precisar calcular o gradiente para achar os pontos críticos e depois usar a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2x-5y,
partial fpartial y=-5x-2y

Passo 3

Igualamos as derivadas a zero para achar os pontos críticos:
2x-5y=0,
-5x-2y=0
Da primeira equação vem x=tfrac52y. Substituindo na segunda:
-5l(tfrac52yr)-2y=0 Longrightarrow -tfrac252y-2y=0 Longrightarrow -tfrac292y=0 Longrightarrow y=0,
e daí x=0. Logo o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Agora formamos a matriz Hessiana de f:
H = fxx & fxy fxy & fyy = 2 & -5 -5 & -2
O determinante de H vale
D = fxx,fyy - (fxy)^2 =2cdot(-2)-(-5)^2 =-4-25 =-29<0
Como D<0, o ponto crítico (0,0) é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), e trata-se de um ponto de sela.

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