Usando que
, mostre que
Conclua que
é injetora e, portanto, que
é uma bijeção.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma função
de
em
escrita como
onde
é
-Lipschitz com
, vale
Para isso usaremos a desigualdade triangular reversa
.
Passo 2
Escrevemos a diferença de
como soma de dois vetores:
Passo 3
Aplicando
com
e
, obtemos
Passo 4
Como
é
-Lipschitz, temos
. Logo,
Passo 5
Para ver que
é injetora, suponha
. Então
, e pelo passo anterior
Como
, isso força
e, portanto,
. Assim
é injetora e, como mapeia
em
, é bijeção entre esses conjuntos.