Usando que |a+b| >=|a|-|b|, mostre que
|f(x)-f(y)| >=(1-lambda)|x-y|, forall x, y in Omega
Conclua que f é injetora e, portanto, que f: Omega f(Omega) é uma bijeção.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma função f de Omega em R^n escrita como
f(x)=x+g(x),
onde g é lambda-Lipschitz com lambda<1, vale
|f(x)-f(y)|>=(1-lambda)|x-y|,forall x,yinOmega
Para isso usaremos a desigualdade triangular reversa
|a+b|>=|a|-|b|.

Passo 2

Escrevemos a diferença de f como soma de dois vetores:
f(x)-f(y) ;=;(x-y);+;(g(x)-g(y))

Passo 3

Aplicando |a+b|>=|a|-|b| com
a=x-y e b=g(x)-g(y), obtemos
|f(x)-f(y)|;>=;|x-y|;-;|g(x)-g(y)|

Passo 4

Como g é lambda-Lipschitz, temos |g(x)-g(y)|<=lambda|x-y|. Logo,
|f(x)-f(y)|;>=;|x-y|-lambda|x-y| =(1-lambda)|x-y|

Passo 5

Para ver que f é injetora, suponha f(x)=f(y). Então
|f(x)-f(y)|=0, e pelo passo anterior
0>=(1-lambda)|x-y|
Como 1-lambda>0, isso força |x-y|=0 e, portanto, x=y. Assim f é injetora e, como mapeia Omega em f(Omega), é bijeção entre esses conjuntos.

Resposta

f é injetora e, portanto, bijeção de Omega em f(Omega).

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