Exercício 1.6.1. Calcule os limites:
lim (x, y) (2,4) x^2+y^2raizx^2+y^2+4-2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(2,4) x^2+y^2raizx^2+y^2+4-2
O conteúdo principal é cálculo de limite em duas variáveis e uso de racionalização (conjugado) para simplificar a expressão.

Passo 2

Note que a função
f(x,y)=x^2+y^2raizx^2+y^2+4-2
é composta por soma, produto e raiz quadrada, todas contínuas em torno de (2,4), desde que o denominador não seja zero. Em (2,4) temos
raiz2^2+4^2+4-2=raiz24-2=2raiz6-2neq0,
logo podemos aplicar racionalização para simplificar antes de substituir.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raizx^2+y^2+4+2:
x^2+y^2raizx^2+y^2+4-2 cdot raizx^2+y^2+4+2raizx^2+y^2+4+2 = (x^2+y^2)l(raizx^2+y^2+4+2r)(raizx^2+y^2+4)^2-2^2
No denominador:
(raizx^2+y^2+4)^2-2^2=x^2+y^2+4-4=x^2+y^2

Passo 4

A expressão fica
(x^2+y^2)l(raizx^2+y^2+4+2r)x^2+y^2 =raizx^2+y^2+4+2
Agora basta fazer (x,y)to(2,4):
lim(x,y)to(2,4)l(raizx^2+y^2+4+2r) =raiz2^2+4^2+4+2 =raiz24+2 =2raiz6+2

Resposta

2raiz6+2

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