Determine e classifique os pontos críticos das seguintes funções de duas variáveis definidas por:
F(x, y)=(1 / 2) x^4-2 x^3+4 x y+y^2

Passo 1

A gente tem a função de duas variáveis
F(x,y)=tfrac12x^4-2x^3+4xy+y^2
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e análise da matriz Hessiana pra achar e classificar pontos críticos. Vamos precisar: derivar em relação a x e y, resolver nabla F=0, montar a Hessiana e aplicar o teste da segunda derivada.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de F:
Fx=partial Fpartial x=2x^3-6x^2+4y,
Fy=partial Fpartial y=4x+2y
Isso gera o gradiente nabla F=(Fx,Fy).

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema:
2x^3-6x^2+4y=0, 4x+2y=0
Da segunda equação vem y=-2x. Substituindo na primeira:
2x^3-6x^2+4(-2x)=0implies2x^3-6x^2-8x=0implies x(x^2-3x-4)=0
Assim x=0, x=4 ou x=-1. Logo os pontos são:
(0,0),(4,-8),(-1,2)

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana:
H= Fxx&Fxy Fyx&Fyy = 6x^2-12x&4 4&2
O determinante é
D=(6x^2-12x)cdot2-4^2=2(6x^2-12x)-16

Passo 5

Para cada ponto, avaliamos:
  • Em (0,0): Fxx=0, D=2cdot0-16=-16<0 ⇒ sela.
  • Em (4,-8): Fxx=6cdot16-48=48, D=2cdot48-16=80>0 e Fxx>0 ⇒ mínimo local.
  • Em (-1,2): Fxx=6+12=18, D=2cdot18-16=20>0 e Fxx>0 ⇒ mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0) que é ponto de sela, (4,-8) mínimo local e (-1,2) mínimo local.

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