Determine e classifique os pontos críticos das seguintes funções de duas variáveis definidas por:
Passo 1
A gente tem a função de duas variáveis
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e análise da matriz Hessiana pra achar e classificar pontos críticos. Vamos precisar: derivar em relação a
e
, resolver
, montar a Hessiana e aplicar o teste da segunda derivada.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Isso gera o gradiente
.
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema:
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Assim
,
ou
. Logo os pontos são:
Passo 4
Agora montamos a matriz Hessiana:
O determinante é
Passo 5
Para cada ponto, avaliamos:
- Em
: , ⇒ sela. - Em
: , e ⇒ mínimo local. - Em
: , e ⇒ mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos são (0,0) que é ponto de sela, (4,-8) mínimo local e (-1,2) mínimo local.