Determine e classifique os pontos críticos das seguintes funções de duas variáveis definidas por:
F(x, y)=x^3+3 x y-y^3

Passo 1

O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis F(x,y)=x^3+3xy-y^3. Vamos precisar calcular derivadas parciais, resolver o sistema igualado a zero e usar o teste da segunda derivada (matriz Hessiana).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Temos:
Fx=partial Fpartial x=3x^2+3y
Fy=partial Fpartial y=3x-3y^2

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema Fx=0 e Fy=0. Da equação Fx=0 segue y=-x^2. Substituindo em Fy=0:
x - y^2 = x - (-x^2)^2 = x - x^4 = 0

Passo 4

Logo x(x^3-1)=0, ou seja, x=0 ou x=1. Para x=0 temos y=0; para x=1 temos y=-1. Assim, os pontos críticos são (0,0) e (1,-1).

Passo 5

Construir a matriz Hessiana H usando as segundas derivadas:
Fxx=6x, Fxy=3, Fyy=-6y

Passo 6

Avaliar o teste da segunda derivada em cada ponto:
Em (0,0): temos Fxx=0, Fxy=3, Fyy=0, então o determinante D=FxxFyy-Fxy^2=0cdot0-3^2=-9<0. Como D<0, é ponto de sela.
Em (1,-1): temos Fxx=6, Fxy=3, Fyy=6, logo D=6cdot6-3^2=27>0 e Fxx=6>0. Como D>0 e Fxx>0, é mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0), que é ponto de sela, e (1,-1), que é mínimo local.

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