Determine e classifique os pontos críticos das seguintes funções de duas variáveis definidas por:
Passo 1
O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis
. Vamos precisar calcular derivadas parciais, resolver o sistema igualado a zero e usar o teste da segunda derivada (matriz Hessiana).
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Temos:
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema
e
. Da equação
segue
. Substituindo em
:
Passo 4
Logo
, ou seja,
ou
. Para
temos
; para
temos
. Assim, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Construir a matriz Hessiana
usando as segundas derivadas:
Passo 6
Avaliar o teste da segunda derivada em cada ponto:
Em : temos
,
,
, então o determinante
. Como
, é ponto de sela.
Em : temos
,
,
, logo
e
. Como
e
, é mínimo local.
Em
Em
Resposta
Os pontos críticos são
, que é ponto de sela, e
, que é mínimo local.