Pesquisar sobre integrais múltiplas e como resolver integrais duplas como integrais simples iteradas. Colocar a definição e resolver 3 exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para a gente entender o conceito de integrais múltiplas (no nosso caso, integrais duplas) e como convertê-las em integrais simples iteradas, além de resolver três exemplos práticos.

Passo 2

Integral dupla é a ideia de estender o conceito de área sob a curva para funções de duas variáveis. A definição é:
integral duplaD f(x,y),dA
onde 𝐷 é a região no plano e dA indica um elemento de área.

Passo 3

Para efetivamente calcular integral duplaD f(x,y),dA a gente usa o Teorema de Fubini, que diz que, se f for contínua em D, então podemos escrever a integral dupla como iterada. Por exemplo, se D=(x,y):a<= x<= b, g1(x)<= y<= g2(x), temos
integral duplaD f(x,y),dA=integralx=a^bl(integraly=g1(x)^g2(x)f(x,y),dyr)dx

Passo 4

Exemplo 1: Calcular integral duplaD x,dA em D=0<= x<=1,0<= y<=2.
Primeiro, escrevemos iterada:
integralx=0^1integraly=0^2 x,dy,dx
Integramos em y: integral0^2 x,dy=2x. Então
integral0^1 2x,dx=[x^2]0^1=1

Passo 5

Exemplo 2: Calcular integral duplaD xy,dA em D=0<= x<=1,0<= y<= x.
Escrevemos iterada:
integralx=0^1integraly=0^x xy,dy,dx
No interior, x é constante, então integral0^x xy,dy=xintegral0^x y,dy=xcdoty^22|0^x=x^32 Depois:
integral0^1x^32,dx=12cdotx^44|0^1=18

Passo 6

Exemplo 3: Calcular integral duplaD(x+y),dA em D=0<= x<=1,0<= y<=1-x.
Escrevemos iterada:
integralx=0^1integraly=0^1-x(x+y),dy,dx
Integral interna:
integral0^1-x(x+y),dy= x(1-x)+(1-x)^22=12 -x^22
Agora
integral0^1l(12-x^22r)dx=x2-x^36|0^1=13

Resposta

Os resultados dos três exemplos são, respectivamente: 1, 1/8 e 1/3.

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