Pesquisar sobre integrais múltiplas e como resolver integrais duplas como integrais simples iteradas. Colocar a definição e resolver 3 exemplos.
Passo 1
O enunciado pede para a gente entender o conceito de integrais múltiplas (no nosso caso, integrais duplas) e como convertê-las em integrais simples iteradas, além de resolver três exemplos práticos.
Passo 2
Integral dupla é a ideia de estender o conceito de área sob a curva para funções de duas variáveis. A definição é:
onde 𝐷 é a região no plano e indica um elemento de área.
Passo 3
Para efetivamente calcular a gente usa o Teorema de Fubini, que diz que, se for contínua em , então podemos escrever a integral dupla como iterada. Por exemplo, se , temos
Passo 4
Exemplo 1: Calcular em .
Primeiro, escrevemos iterada:
Integramos em : . Então
Passo 5
Exemplo 2: Calcular em .
Escrevemos iterada:
No interior, é constante, então Depois:
integral0^1x^32,dx=12cdotx^44|0^1=18
Passo 6
Exemplo 3: Calcular integral duplaD(x+y),dA em D=0<= x<=1,0<= y<=1-x.
Escrevemos iterada:
integralx=0^1integraly=0^1-x(x+y),dy,dx
Integral interna:
integral0^1-x(x+y),dy= x(1-x)+(1-x)^22=12 -x^22
Agora
integral0^1l(12-x^22r)dx=x2-x^36|0^1=13
Resposta
Os resultados dos três exemplos são, respectivamente: 1, 1/8 e 1/3.