Determine e classifique os pontos críticos de w=x y z sujeitos às restrições x^2+y^2=1 e x-z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de otimização com restrições. A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função $ w = xyz $, sabendo que $ x^2 + y^2 = 1 $ e $ x - z = 0 $. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar funções com condições que precisam ser satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no método dos multiplicadores de Lagrange, a gente adiciona as restrições à função que queremos otimizar usando multiplicadores. Então, definimos uma função Lagrangiana:
L(x, y, z, lambda, mu) = xyz + lambda (x^2 + y^2 - 1) + mu (x - z)
Aqui, $ \lambda $ e $ \mu $ são os multiplicadores de Lagrange para as duas restrições.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a cada variável e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, a derivada em relação a $ x $:
x
Em seguida, em relação a $ y $:
partial Lpartial x = yz + 2lambda x + mu = 0
Depois, em relação a $ z $:
y
E as próprias restrições:
partial Lpartial y = xz + 2lambda y = 0
z

Passo 4

Vamos agora resolver esse sistema de equações. Sabemos que $ z = x $, então podemos substituir isso nas outras equações. Vamos começar pela terceira equação derivada:
z = x
Agora, substituímos $ z = x $ e $ \mu = xy $ na primeira equação:
xy - mu = 0 Rightarrow mu = xy
Podemos fatorar $ 2x $:
z = x
Isso nos dá duas possibilidades: $ x = 0 $ ou $ y + \lambda = 0 $.

Passo 5

Vamos analisar o caso $ x = 0 $:
Se $ x = 0 $, pela restrição $ x^2 + y^2 = 1 $, temos $ y^2 = 1 $, logo $ y = \pm 1 $.
E como $ z = x $, então $ z = 0 $.
Portanto, temos dois pontos críticos: $ (0, 1, 0) $ e $ (0, -1, 0) $.

Passo 6

Agora, vamos considerar o caso $ y + \lambda = 0 $, ou seja, $ \lambda = -y $.
Voltando à segunda equação derivada:
y + lambda = 0
Substituindo $ z = x $ e $ \lambda = -y $:
lambda = -y
Também sabemos da restrição que $ x^2 + y^2 = 1 $. Substituindo $ x^2 = 2y^2 $:
xz + 2lambda y = 0
Então, $ x^2 = \frac{2}{3} $, logo $ x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} $, e $ z = x $.
Portanto, temos mais dois pontos críticos: $ \left(\sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}\right) $ e $ \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\sqrt{\frac{2}{3}}\right) $.

Resposta

Os pontos críticos são:
  1. $ (0, 1, 0) $
  2. $ (0, -1, 0) $
  3. $ \left(\sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}\right) $
  4. $ \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\sqrt{\frac{2}{3}}\right) $

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