Determine e classifique os pontos críticos de
sujeitos às restrições
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de otimização com restrições. A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função $ w = xyz $, sabendo que $ x^2 + y^2 = 1 $ e $ x - z = 0 $. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar funções com condições que precisam ser satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no método dos multiplicadores de Lagrange, a gente adiciona as restrições à função que queremos otimizar usando multiplicadores. Então, definimos uma função Lagrangiana:
Aqui, $ \lambda $ e $ \mu $ são os multiplicadores de Lagrange para as duas restrições.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a cada variável e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, a derivada em relação a $ x $:
Em seguida, em relação a $ y $:
Depois, em relação a $ z $:
E as próprias restrições:
Passo 4
Vamos agora resolver esse sistema de equações. Sabemos que $ z = x $, então podemos substituir isso nas outras equações. Vamos começar pela terceira equação derivada:
Agora, substituímos $ z = x $ e $ \mu = xy $ na primeira equação:
Podemos fatorar $ 2x $:
Isso nos dá duas possibilidades: $ x = 0 $ ou $ y + \lambda = 0 $.
Passo 5
Vamos analisar o caso $ x = 0 $:
Se $ x = 0 $, pela restrição $ x^2 + y^2 = 1 $, temos $ y^2 = 1 $, logo $ y = \pm 1 $.
E como $ z = x $, então $ z = 0 $.
Portanto, temos dois pontos críticos: $ (0, 1, 0) $ e $ (0, -1, 0) $.
Passo 6
Agora, vamos considerar o caso $ y + \lambda = 0 $, ou seja, $ \lambda = -y $.
Voltando à segunda equação derivada:
Substituindo $ z = x $ e $ \lambda = -y $:
Também sabemos da restrição que $ x^2 + y^2 = 1 $. Substituindo $ x^2 = 2y^2 $:
Então, $ x^2 = \frac{2}{3} $, logo $ x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} $, e $ z = x $.
Portanto, temos mais dois pontos críticos: $ \left(\sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}\right) $ e $ \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\sqrt{\frac{2}{3}}\right) $.
Resposta
Os pontos críticos são:
- $ (0, 1, 0) $
- $ (0, -1, 0) $
- $ \left(\sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}\right) $
- $ \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\sqrt{\frac{2}{3}}\right) $