Determine o máximo e o mínimo de g no conjunto D dado:
g(x, y)=4 x^2-2 x y+6 y^2-8 x+2 y+3 no conjunto D=(x, y) in R^2 / 0 <= x <= 2,-1 <= y <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo e mínimo da função $ g(x, y) = 4x^{2} - 2xy + 6y^{2} - 8x + 2y + 3 $ no conjunto $ D $ que é definido por $ 0 \leq x \leq 2 $ e $ -1 \leq y \leq 3 $. Isso envolve conceitos de cálculo de máximos e mínimos em funções de duas variáveis, usando derivadas parciais e analisando os limites do conjunto $ D $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro do conjunto $ D $. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
A derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $ é:
D
A derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $ é:
g

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde essas derivadas são iguais a zero, ou seja, resolver o sistema de equações:
8x - 2y - 8 = 0 -2x + 12y + 2 = 0
Resolvendo a primeira equação para $ x $:
x
Substituindo $ x $ na segunda equação:
8x - 2y - 8 = 0 Rightarrow 8x = 2y + 8 Rightarrow x = 2y + 88 = y4 + 1
x
-2(y4 + 1) + 12y + 2 = 0
-y2 - 2 + 12y + 2 = 0
Então, $ y = 0 $ e substituindo de volta em $ x = \frac{y}{4} + 1 $:
-y2 + 12y = 0
Portanto, temos um ponto crítico em $ (1, 0) $.

Passo 4

Agora, vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do conjunto $ D $. As condições são $ 0 \leq x \leq 2 $ e $ -1 \leq y \leq 3 $.
Para $ (1, 0) $:
  • $ 0 \leq 1 \leq 2 $ ✔️
  • $ -1 \leq 0 \leq 3 $ ✔️
Então, o ponto $ (1, 0) $ está dentro de $ D $ e é um candidato para máximo ou mínimo.

Passo 5

Vamos calcular o valor de $ g $ nesse ponto:
g
g(1, 0) = 4(1)^2 - 2(1)(0) + 6(0)^2 - 8(1) + 2(0) + 3
Então, $ g(1, 0) = -1 $.

Passo 6

Agora, precisamos analisar os limites do conjunto $ D $. Isso significa verificar os valores de $ g $ nas fronteiras de $ D $:
  1. Para $ x = 0 $:
D
Vamos encontrar o mínimo e máximo dessa expressão para $ -1 \leq y \leq 3 $.
Calculando para $ y = -1 $:
g
Calculando para $ y = 3 $:
D
Como a função é uma parábola para cima, o mínimo ocorre no vértice, mas como já verificamos os extremos, temos $ g(0, -1) = 7 $ e $ g(0, 3) = 63 $.
  1. Para $ x = 2 $:
x = 0
Calculando para $ y = -1 $:
g(0, y) = 4(0)^2 - 2(0)y + 6y^2 - 8(0) + 2y + 3 = 6y^2 + 2y + 3
Calculando para $ y = 3 $:
-1 <= y <= 3
  1. Para $ y = -1 $:
y = -1
Calculando para $ x = 0 $ e $ x = 2 $:
  • Já calculamos $ g(0, -1) = 7 $ e $ g(2, -1) = 11 $.
  1. Para $ y = 3 $:
g(0, -1) = 6(-1)^2 + 2(-1) + 3 = 6 - 2 + 3 = 7
Calculando para $ x = 0 $ e $ x = 2 $:
  • Já calculamos $ g(0, 3) = 63 $ e $ g(2, 3) = 51 $.

Passo 7

Agora, vamos comparar todos os valores que encontramos:
  • Ponto interno $ (1, 0) $: $ g = -1 $
  • Bordas:
    • $ g(0, -1) = 7 $
    • $ g(0, 3) = 63 $
    • $ g(2, -1) = 11 $
    • $ g(2, 3) = 51 $
O menor valor é $ -1 $ no ponto $ (1, 0) $ e o maior valor é $ 63 $ no ponto $ (0, 3) $.

Resposta

O valor mínimo de $ g $ é g no ponto -1 e o valor máximo é (1, 0) no ponto 63.

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