Determine o máximo e o mínimo de
no conjunto
dado:
no conjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo e mínimo da função $ g(x, y) = 4x^{2} - 2xy + 6y^{2} - 8x + 2y + 3 $ no conjunto $ D $ que é definido por $ 0 \leq x \leq 2 $ e $ -1 \leq y \leq 3 $. Isso envolve conceitos de cálculo de máximos e mínimos em funções de duas variáveis, usando derivadas parciais e analisando os limites do conjunto $ D $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro do conjunto $ D $. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
A derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $ é:
A derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde essas derivadas são iguais a zero, ou seja, resolver o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação para $ x $:
Substituindo $ x $ na segunda equação:
Então, $ y = 0 $ e substituindo de volta em $ x = \frac{y}{4} + 1 $:
Portanto, temos um ponto crítico em $ (1, 0) $.
Passo 4
Agora, vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do conjunto $ D $. As condições são $ 0 \leq x \leq 2 $ e $ -1 \leq y \leq 3 $.
Para $ (1, 0) $:
- $ 0 \leq 1 \leq 2 $ ✔️
- $ -1 \leq 0 \leq 3 $ ✔️
Então, o ponto $ (1, 0) $ está dentro de $ D $ e é um candidato para máximo ou mínimo.
Passo 5
Vamos calcular o valor de $ g $ nesse ponto:
Então, $ g(1, 0) = -1 $.
Passo 6
Agora, precisamos analisar os limites do conjunto $ D $. Isso significa verificar os valores de $ g $ nas fronteiras de $ D $:
- Para $ x = 0 $:
Vamos encontrar o mínimo e máximo dessa expressão para $ -1 \leq y \leq 3 $.
Calculando para $ y = -1 $:
Calculando para $ y = 3 $:
Como a função é uma parábola para cima, o mínimo ocorre no vértice, mas como já verificamos os extremos, temos $ g(0, -1) = 7 $ e $ g(0, 3) = 63 $.
- Para $ x = 2 $:
Calculando para $ y = -1 $:
Calculando para $ y = 3 $:
- Para $ y = -1 $:
Calculando para $ x = 0 $ e $ x = 2 $:
- Já calculamos $ g(0, -1) = 7 $ e $ g(2, -1) = 11 $.
- Para $ y = 3 $:
Calculando para $ x = 0 $ e $ x = 2 $:
- Já calculamos $ g(0, 3) = 63 $ e $ g(2, 3) = 51 $.
Passo 7
Agora, vamos comparar todos os valores que encontramos:
- Ponto interno $ (1, 0) $: $ g = -1 $
- Bordas:
- $ g(0, -1) = 7 $
- $ g(0, 3) = 63 $
- $ g(2, -1) = 11 $
- $ g(2, 3) = 51 $
O menor valor é $ -1 $ no ponto $ (1, 0) $ e o maior valor é $ 63 $ no ponto $ (0, 3) $.
Resposta
O valor mínimo de $ g $ é
no ponto
e o valor máximo é
no ponto
.