Determine e classifique os pontos estacionários da função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar e classificar os pontos estacionários (ou críticos).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é explicitamente
. - Precisamos encontrar todos os pontos onde o gradiente é nulo (pontos estacionários) e dizer se cada um é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Nada mais é pedido.
Passo 2
O que é um ponto estacionário e como vamos achar: um ponto
é estacionário quando o gradiente de
é o vetor nulo, isto é,
Explicando passo a passo:
é a derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante;
é análoga. Encontraremos essas derivadas, montaremos o sistema
e o resolveremos.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais. Para facilitar, expando a função:
Agora derivamos termo a termo.
Derivada parcial em relação a
:
-
(porque é constante); -
; -
.
Portanto
Derivada parcial em relação a
:
-
; -
; -
.
Portanto
Passo 4
Agora montamos o sistema do gradiente nulo:
Esse sistema se resolve por casos, usando os fatores:
Caso A: [x=0).
- Se
, a segunda equação fica satisfeita automaticamente. A primeira vira , logo ou . Assim obtemos os pontos e .
Caso B:
.
- Se
, a primeira equação fica satisfeita automaticamente. A segunda vira , logo ou . O ponto já apareceu; obtemos também .
Caso C:
e
.
- Então podemos dividir por
e por e exigir os parênteses nulos:
Esse é um sistema linear. Subtraindo a segunda da primeira:
. Substituindo em
dá
, logo
. Assim obtemos o ponto
.]
Passo 5
Resumo dos pontos estacionários encontrados:
Passo 6
Agora vamos classificar esses pontos usando o teste das derivadas segundas (teste do discriminante). Mini-aula rápida sobre isso: definimos as derivadas segundas
Calculamos o discriminante
Regras de classificação no ponto
:
- Se
e → mínimo local. - Se
e → máximo local. - Se
→ ponto de sela. - Se
→ teste inconclusivo (precisa de análise adicional).
Passo 7
Calculando as derivadas segundas a partir de
e
:
Derivadas:
Assim o discriminante geral é
Passo 8
Classificação no ponto
.
Calculemos as segundas derivadas em
:
Logo
Como
, concluímos que
é um ponto de sela.
Passo 9
Classificação em
.
Segundas derivadas em
:
Então
Como
,
é ponto de sela.
Passo 10
Classificação em
.
Segundas derivadas em
:
Então
Como
,
é ponto de sela.
Passo 11
Classificação em
.
Segundas derivadas nesse ponto:
O discriminante é
Como
e
, concluímos que
é um mínimo local.
Observação útil: o valor da função nesse mínimo é
o que confirma que esse ponto realmente tem valor menor do que, por exemplo, os pontos de sela onde
.