Determine e classifique os pontos estacionários da função:
f(x, y)=x y(x+y-1)

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=x\,y\,(x+y-1) e pede para determinar e classificar os pontos estacionários (ou críticos).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é explicitamente \displaystyle f(x,y)=x\,y\,(x+y-1).
  • Precisamos encontrar todos os pontos onde o gradiente é nulo (pontos estacionários) e dizer se cada um é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
    Nada mais é pedido.

Passo 2

O que é um ponto estacionário e como vamos achar: um ponto (x,y) é estacionário quando o gradiente de f é o vetor nulo, isto é,
\nabla f(x,y) = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\; \dfrac{\partial f}{\partial y}\right) = (0,0).
Explicando passo a passo: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x, tratando y como constante; \dfrac{\partial f}{\partial y} é análoga. Encontraremos essas derivadas, montaremos o sistema \dfrac{\partial f}{\partial x}=0,\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=0 e o resolveremos.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais. Para facilitar, expando a função:
f(x,y)=x^2y + xy^2 - xy.
Agora derivamos termo a termo.
Derivada parcial em relação a x:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2y)=2xy (porque y é constante);
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(xy^2)=y^2;
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-xy)=-y.
Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial x}=2xy+y^2-y = y(2x+y-1).
Derivada parcial em relação a y:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2y)=x^2;
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(xy^2)=2xy;
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-xy)=-x.
Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial y}=x^2+2xy-x = x(x+2y-1).

Passo 4

Agora montamos o sistema do gradiente nulo:
\begin{cases} y(2x+y-1)=0,\\[4pt] x(x+2y-1)=0. \end{cases}
Esse sistema se resolve por casos, usando os fatores:
Caso A: [x=0).
  • Se x=0, a segunda equação fica satisfeita automaticamente. A primeira vira y(y-1)=0, logo y=0 ou y=1. Assim obtemos os pontos (0,0) e (0,1).
Caso B: y=0.
  • Se y=0, a primeira equação fica satisfeita automaticamente. A segunda vira x(x-1)=0, logo x=0 ou x=1. O ponto x=0 já apareceu; obtemos também (1,0).
Caso C: x\neq 0 e y\neq 0.
  • Então podemos dividir por x e por y e exigir os parênteses nulos:
\begin{cases} 2x+y-1=0,\\[4pt] x+2y-1=0. \end{cases}
Esse é um sistema linear. Subtraindo a segunda da primeira: (2x - x) + (y-2y)=0 \Rightarrow x-y=0\], então \(x=y. Substituindo em x+2y=1 3x=1, logo x=y=\dfrac{1}{3}. Assim obtemos o ponto \left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\right).]

Passo 5

Resumo dos pontos estacionários encontrados:
(0,0),\quad (1,0),\quad (0,1),\quad \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right).

Passo 6

Agora vamos classificar esses pontos usando o teste das derivadas segundas (teste do discriminante). Mini-aula rápida sobre isso: definimos as derivadas segundas
f_{xx}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2},\quad f_{yy}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2},\quad f_{xy}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}.
Calculamos o discriminante
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y) - \big(f_{xy}(x,y)\big)^2.
Regras de classificação no ponto (x_0,y_0):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 → mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 → máximo local.
  • Se D<0 → ponto de sela.
  • Se D=0 → teste inconclusivo (precisa de análise adicional).

Passo 7

Calculando as derivadas segundas a partir de f_x=y(2x+y-1) e f_y=x(x+2y-1):
Derivadas:
f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(y(2x+y-1)\big)=2y,
f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(x(x+2y-1)\big)=2x,
f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(y(2x+y-1)\big)=2x+2y-1.
Assim o discriminante geral é
D(x,y)= (2y)(2x) - (2x+2y-1)^2 = 4xy - (2x+2y-1)^2.

Passo 8

Classificação no ponto (0,0).
Calculemos as segundas derivadas em (0,0):
f_{xx}(0,0)=2\cdot 0 = 0,\quad f_{yy}(0,0)=2\cdot 0 = 0,\quad f_{xy}(0,0)=2\cdot 0+2\cdot 0-1=-1.
Logo
D(0,0)=0\cdot 0 - (-1)^2 = -1 < 0.
Como D<0, concluímos que (0,0) é um ponto de sela.

Passo 9

Classificação em (1,0).
Segundas derivadas em (1,0):
f_{xx}(1,0)=2\cdot 0 = 0,\quad f_{yy}(1,0)=2\cdot 1 = 2,\quad f_{xy}(1,0)=2\cdot1+2\cdot0-1=1.
Então
D(1,0)=0\cdot 2 - 1^2 = -1 < 0.
Como D<0, (1,0) é ponto de sela.

Passo 10

Classificação em (0,1).
Segundas derivadas em (0,1):
f_{xx}(0,1)=2\cdot 1 = 2,\quad f_{yy}(0,1)=2\cdot 0 = 0,\quad f_{xy}(0,1)=2\cdot0+2\cdot1-1=1.
Então
D(0,1)=2\cdot 0 - 1^2 = -1 < 0.
Como D<0, (0,1) é ponto de sela.

Passo 11

Classificação em \left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\right).
Segundas derivadas nesse ponto:
f_{xx}\!\Big(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\Big)=2\cdot \tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3},
f_{yy}\!\Big(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\Big)=2\cdot \tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3},
f_{xy}\!\Big(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\Big)=2\cdot\tfrac{1}{3}+2\cdot\tfrac{1}{3}-1=\tfrac{4}{3}-1=\tfrac{1}{3}.
O discriminante é
D\!\Big(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\Big)=\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{2}{3} - \Big(\tfrac{1}{3}\Big)^2 = \tfrac{4}{9}-\tfrac{1}{9}=\tfrac{3}{9}=\tfrac{1}{3}>0.
Como D>0 e f_{xx}=\tfrac{2}{3}>0, concluímos que \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right) é um mínimo local.
Observação útil: o valor da função nesse mínimo é
f\!\Big(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\Big)=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{3}\Big(\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}-1\Big)=\tfrac{1}{9}\cdot\big(-\tfrac{1}{3}\big)=-\tfrac{1}{27},
o que confirma que esse ponto realmente tem valor menor do que, por exemplo, os pontos de sela onde f=0.

Resposta

(0,0) — ponto de sela
(1,0) — ponto de sela
(0,1) — ponto de sela
\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right) — mínimo local

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