O que são pontos estacionários? Qual a diferença entre pontos estacionários e pontos de sela? (valor: 2,0 )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: (1) explicar o que são pontos estacionários e (2) dizer qual é a diferença entre pontos estacionários e pontos de sela. Não há outros dados numéricos no enunciado além do valor da questão ( 2,0). Vou responder as duas perguntas de forma didática, com definições, testes e exemplos práticos.

Passo 2

Primeiro precisamos entender o que é derivada/gradiente, porque os pontos estacionários se definem com elas.
  • Para funções de uma variável, f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, a derivada f'(x) mede a inclinação da reta tangente em x. Se f'(a)=0, a reta tangente é horizontal em a.
  • Para funções de várias variáveis, por exemplo f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}, o análogo é o gradiente \nabla f(x), que é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x)=\left( \frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right).
O gradiente aponta a direção de maior crescimento da função; se \nabla f(a)=0 não existe direção de crescimento linear imediato — é um ponto onde a variação de primeira ordem some.

Passo 3

Definição formal e diferença entre termos próximos (importante):
  • Dizemos que a é um ponto estacionário (também chamado por alguns autores de ponto crítico quando não há ambiguidade) se a primeira derivada (no caso unidimensional) ou o gradiente (no caso multidimensional) se anula em a. Ou seja:
\text{ponto estacionário:}\quad f'(a)=0 \quad\text{(1D)}\qquad\text{ou}\qquad \nabla f(a)=0 \quad\text{(nD).}á
  • Observação: alguns autores incluem como pontos críticos também os pontos onde a derivada/gradiente não existe. Se o seu professor distingue, atente para essa diferença; aqui, “ponto estacionário” será usado para o caso em que a derivada/gradiente existe e vale zero.

Passo 4

Como classificar um ponto estacionário na prática (1D): teste da segunda derivada. Seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} duas vezes diferenciável e f'(a)=0.
  • Se f''(a)>0 então a é um mínimo local (curvatura para cima).
  • Se f''(a)<0 então a é um máximo local (curvatura para baixo).
  • Se f''(a)=0 o teste é inconclusivo: pode ser um ponto de inflexão, um máximo, um mínimo ou outro caso. Exemplo simples: f(x)=x^3. Aqui f'(x)=3x^2, então f'(0)=0 e f''(0)=0; porém x=0 é um ponto de inflexão, não máximo nem mínimo.

Passo 5

Classificação em várias variáveis (no caso mais comum n=2): o análogo do teste da segunda derivada é usar a matriz Hessiana.
  • A Hessiana H_f é a matriz das segundas derivadas parciais:
H_f(x)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}\\[4pt] \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} \end{pmatrix}.
  • Para n=2, calcule D=\det H_f(a)=f_{x_1x_1}(a)\,f_{x_2x_2}(a)-\big(f_{x_1x_2}(a)\big)^2. O teste é:
    • se D>0 e f_{x_1x_1}(a)>0 então mínimo local;
    • se D>0 e f_{x_1x_1}(a)<0 então máximo local;
    • se D<0 então ponto de sela;
    • se D=0 o teste é inconclusivo.
      Explicação intuitiva: quando H_f(a) é indefinida (tem valores positivos e negativos nos autovalores), existem direções em que a função aumenta e outras em que diminui — isso é exatamente o comportamento de um ponto de sela.]

Passo 6

Definição explícita de ponto de sela e exemplo clássico:
  • Um ponto de sela é um tipo de ponto estacionário (normalmente) em que a função não tem nem máximo local nem mínimo local; em torno do ponto a função cresce numa direção e decresce em outra. Em termos da Hessiana, para funções duas vezes diferenciáveis, ponto de sela corresponde a Hessiana indefinida (autovalores com sinais opostos) ou, no teste 2×2, D<0.
  • Exemplo concreto e rápido (pegando como exemplo didático): f(x,y)=x^2-y^2.
    • Calcule o gradiente: \nabla f=(2x,-2y), então \nabla f(0,0)=(0,0) — é ponto estacionário.
    • Hessiana: H_f=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}. Aqui os autovalores são 2 e -2 (sinais opostos), logo Hessiana indefinida e D=\det H_f= -4<0. Portanto (0,0) é um ponto de sela: em direção x a função cresce, em direção y ela decresce.]

Passo 7

Resumo prático para a prova — como identificar rápido:
  1. Calcule \nabla f (ou f' em 1D). Ache os pontos onde \nabla f=0 (ou f'=0). Esses são os pontos estacionários.
  2. Em 1D: use f'' no ponto. Em 2D: calcule a Hessiana e aplique o teste com D=\det H.
  3. Se o teste indicar indefinição ( D<0 em 2D) você já conclui que é ponto de sela. Se o teste for inconclusivo, procure mais informação (expansão de Taylor de ordem superior, exempel).
Dica de amigo: em questões de prova, sempre deixe escrito “gradiente zero” para marcar que você procurou pontos estacionários; depois use os sinais da Hessiana ou da segunda derivada para classificar. Isso ganha pontos de método mesmo quando o cálculo é trabalhoso.

Resposta

Ponto estacionário: ponto onde a primeira derivada (1D) ou o gradiente (nD) se anula, ou seja, f'(a)=0 (1D) ou \nabla f(a)=0 (nD).
Diferença entre ponto estacionário e ponto de sela: ponto de sela é um tipo de ponto estacionário que não é nem máximo nem mínimo local — em várias variáveis aparece quando a Hessiana é indefinida (no caso 2\times2, quando D=\det H<0), ou seja, existem direções em que a função aumenta e outras em que ela diminui.

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