- Mostrar que: de todos os triângulos com perímetro
, o equilátero é aquele de maior área. Seguindo a Heron, a área do triangulo com lados
e
é
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Três comprimentos positivos
que formam um triângulo e têm perímetro fixo . Ou seja,
- A fórmula de Heron (fornecida) para a área em termos do perímetro
é
O que se pede: mostrar que, entre todos os triângulos com perímetro
fixo, aquele que tem a maior área é o equilátero. Também encontrar a área máxima em função de
.
Passo 2
Observação importante sobre os fatores da fórmula: como
formam um triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois. Por exemplo
. Subtraindo
de ambos os lados obtemos
porque
. De forma análoga
e
. Logo todos os fatores dentro da raiz são positivos e podemos trabalhar com eles sem problemas.
Passo 3
Para maximizar
com
fixo, note que a função
é crescente e o fator
é constante. Portanto maximizar
é equivalente a maximizar o produto
(Isto porque
é fixo e aparece multiplicando esse produto dentro da raiz, então maximizar
com
fixo é equivalente a maximizar
.)
Passo 4
Vamos usar a desigualdade aritmético‑geométrica (AM–GM) para três números positivos. A versão que precisamos diz: para
,
com igualdade exatamente quando
. Rearranjando obtemos
(Isto é deduzível aplicando a desigualdade AM–GM padrão ou observando que
é côncava e usar Jensen; aqui usaremos a forma já conhecida.)
Passo 5
Aplique AM–GM aos três números
Calcule a soma desses três números:
Como a soma é justamente
(fixa), a desigualdade AM–GM dá
A igualdade ocorre exatamente quando
ou seja, quando o triângulo é equilátero.
Passo 6
Agora volte à área usando a desigualdade acima. Temos
Tomando raiz quadrada e lembrando do fator
da fórmula de Heron,
Simplificando
obtemos
Passo 7
Verificação de que esse valor corresponde à área do triângulo equilátero de perímetro
: para o equilátero temos cada lado
. A área de um equilátero é
, logo
que coincide com a cota superior encontrada. Portanto a desigualdade é atingida exatamente pelo equilátero
, mostrando que ele é o triângulo de maior área entre os de perímetro
.
Resposta
O triângulo equilátero
é o que tem área máxima, e a área máxima vale
.