1. Mostrar que: de todos os triângulos com perímetro p, o equilátero é aquele de maior área. Seguindo a Heron, a área do triangulo com lados x, y e z é A=\sqrt{p(p-2 x)(p-2 y)(p-2 z)} / 4.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Três comprimentos positivos x,y,z que formam um triângulo e têm perímetro fixo p. Ou seja,
x+y+z=p.
  • A fórmula de Heron (fornecida) para a área em termos do perímetro p é
A=\frac{1}{4}\sqrt{\,p(p-2x)(p-2y)(p-2z)\,}.
O que se pede: mostrar que, entre todos os triângulos com perímetro p fixo, aquele que tem a maior área é o equilátero. Também encontrar a área máxima em função de p.

Passo 2

Observação importante sobre os fatores da fórmula: como x,y,z formam um triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois. Por exemplo x<y+z. Subtraindo x de ambos os lados obtemos
y+z-x>0\quad\Longrightarrow\quad p-2x>0,
porque p=x+y+z. De forma análoga p-2y>0 e p-2z>0. Logo todos os fatores dentro da raiz são positivos e podemos trabalhar com eles sem problemas.

Passo 3

Para maximizar A com p fixo, note que a função \sqrt{\cdot} é crescente e o fator 1/4 é constante. Portanto maximizar A é equivalente a maximizar o produto
P=(p-2x)(p-2y)(p-2z).
(Isto porque p é fixo e aparece multiplicando esse produto dentro da raiz, então maximizar p\cdot P com p fixo é equivalente a maximizar P.)

Passo 4

Vamos usar a desigualdade aritmético‑geométrica (AM–GM) para três números positivos. A versão que precisamos diz: para a,b,c\ge0,
\frac{a+b+c}{3}\ge (abc)^{1/3},
com igualdade exatamente quando a=b=c. Rearranjando obtemos
abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{3}.
(Isto é deduzível aplicando a desigualdade AM–GM padrão ou observando que \ln é côncava e usar Jensen; aqui usaremos a forma já conhecida.)

Passo 5

Aplique AM–GM aos três números
a=p-2x,\qquad b=p-2y,\qquad c=p-2z.
Calcule a soma desses três números:
(p-2x)+(p-2y)+(p-2z)=3p-2(x+y+z)=3p-2p=p.
Como a soma é justamente p (fixa), a desigualdade AM–GM dá
(p-2x)(p-2y)(p-2z)\le\left(\frac{p}{3}\right)^{3}.
A igualdade ocorre exatamente quando
p-2x=p-2y=p-2z\quad\Longrightarrow\quad x=y=z,
ou seja, quando o triângulo é equilátero.

Passo 6

Agora volte à área usando a desigualdade acima. Temos
p(p-2x)(p-2y)(p-2z)\le p\left(\frac{p}{3}\right)^{3}=\frac{p^{4}}{27}.
Tomando raiz quadrada e lembrando do fator 1/4 da fórmula de Heron,
A=\frac{1}{4}\sqrt{p(p-2x)(p-2y)(p-2z)}\le\frac{1}{4}\sqrt{\frac{p^{4}}{27}}=\frac{p^{2}}{4\sqrt{27}}.
Simplificando \sqrt{27}=3\sqrt{3} obtemos
A\le\frac{p^{2}}{4\cdot 3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{36}\,p^{2}.

Passo 7

Verificação de que esse valor corresponde à área do triângulo equilátero de perímetro p: para o equilátero temos cada lado a=\dfrac{p}{3}. A área de um equilátero é \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}, logo
A_{\text{eq}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{p}{3}\right)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{36}\,p^{2},
que coincide com a cota superior encontrada. Portanto a desigualdade é atingida exatamente pelo equilátero x=y=z=p/3, mostrando que ele é o triângulo de maior área entre os de perímetro p.

Resposta

O triângulo equilátero x=y=z=\dfrac{p}{3} é o que tem área máxima, e a área máxima vale A_{\max}=\dfrac{\sqrt{3}}{36}\,p^{2}.

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