Determine o coeficiente angular (inclinação da reta) da reta tangente à curva y=2 x^3+20 no ponto (1,4). Em que ponto dessa curva a reta tangente é paralela ao eixo x?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o coeficiente angular, que é a inclinação da reta tangente à curva $ y = 2x^{3} + 20 $ no ponto $ (1, 4) $. Além disso, vamos ver em qual ponto dessa curva a reta tangente fica paralela ao eixo $ x $. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a encontrar a inclinação de curvas em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ y = 2x^{3} + 20 $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $.
A fórmula para derivar $ y = 2x^{3} + 20 $ é:
y = 2x^3 + 20
Sabemos que:
x
Então, aplicando isso:
y = 2x^3 + 20

Passo 3

Agora que temos a derivada, que é $ \frac{dy}{dx} = 6x^{2} $, podemos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ (1, 4) $.
Basta substituir $ x = 1 $ na derivada:
dydx = 6x^2
Então, o coeficiente angular da reta tangente no ponto $ (1, 4) $ é 6.

Passo 4

Agora, vamos descobrir em que ponto da curva a reta tangente é paralela ao eixo $ x $. Quando a reta é paralela ao eixo $ x $, a inclinação dela é 0. Então, queremos achar o ponto onde a derivada é zero.
Vamos resolver:
x
Dividindo ambos os lados por 6:
x
Agora, para encontrar o valor de $ y $ nesse ponto, substituímos $ x = 0 $ na função original:
6x^2 = 0
Então, o ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo $ x $ é $ (0, 20) $.

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto $ (1, 4) $ é 6, e a reta tangente é paralela ao eixo $ x $ no ponto $ (0, 20) $.

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