f é contínua em x=2? Caso não seja qual valor f(2) deve assumir para que a função seja?
Passo 1
Resumo do Enunciado: Temos uma função $ f(x) $ definida por partes em diferentes intervalos de $ x $. Queremos saber se $ f $ é contínua em $ x = 2 $ e, caso não seja, qual valor $ f(2) $ deve assumir para que a função seja contínua.
Conteúdo: Vamos utilizar o conceito de continuidade de funções, que envolve calcular os limites laterais da função e comparar com o valor da função no ponto em questão.
Passo 2
Calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ x \to 2^- $):
No intervalo $ 1 < x < 2 $, a função é definida por:
x
Então, calculamos o limite:
x to 2^-
Passo 3
Calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita ($ x \to 2^+ $):
No intervalo $ 2 < x < 3 $, a função é definida por:
x
Como a função é constante nesse intervalo, o limite é simplesmente:
x to 2^+
Passo 4
Comparar os limites laterais com o valor da função em $ x = 2 $:
Para que $ f $ seja contínua em $ x = 2 $, os limites laterais devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor da função nesse ponto.
No enunciado, $ f(2) $ não está definido. Assim, para verificar a continuidade:
x = 2
f
Como os limites laterais são diferentes ($ 0 $ e $ 1 $), não existe um valor único que $ f(2) $ possa assumir para tornar a função contínua em $ x = 2 $.
Resposta
A função $ f $ não é contínua em $ x = 2 $ e não existe um valor para $ f(2) $ que a torne contínua nesse ponto.