3.9 Determine o coeficiente de atrito
para que um objeto de massa
permaneça em repouso em um plano inclinado por um ângulo
. (Resposta:
)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o coeficiente de atrito
para que um objeto de massa
permaneça em repouso em um plano inclinado que faz um ângulo
com a horizontal.
Informações dadas: (massa do objeto),
(ângulo de inclinação) e que o objeto deve ficar em repouso sobre o plano.
Objetivo final: encontrar em função de
.
Informações dadas:
Objetivo final: encontrar
Passo 2
Identificamos as forças que atuam no objeto (descrição e definição das variáveis):
- Peso:
, direção vertical para baixo. Aqui é a massa e é a aceleração da gravidade (valor numérico típico se precisar calcular numericamente). - Força normal:
, perpendicular à superfície do plano inclinado. é o módulo dessa força. - Força de atrito estático:
, tangente à superfície e oposta à tendência de deslizamento. O módulo máximo da força de atrito estático é dado por , onde é o coeficiente de atrito estático (o enunciado usa sem distinguir, então adotamos o caso estático porque o objeto está em repouso).
Passo 3
Decomposição do peso em componentes paralela e perpendicular ao plano (aqui ensino como fazer a decomposição):
Considere o peso vertical. Ao projetá-lo nas direções perpendicular e paralela ao plano inclinado, formam-se ângulos iguais a
. Por trigonometria num triângulo retângulo associado às componentes:
Considere o peso
- Componente perpendicular ao plano:
. Isto vem do fato de que . - Componente paralela ao plano (tendência a deslizar para baixo):
. Isto vem de .
Esses resultados são padrão ao decompor um vetor peso em um plano inclinado — você pode visualizar a geometria: o cateto adjacente ao ângulotem comprimento e o cateto oposto tem .
Passo 4
Escrevendo as condições de equilíbrio (o objeto está em repouso, então resultante das forças é zero nas duas direções):
- Direção perpendicular ao plano: soma das forças nessa direção deve ser zero, logo
Daí obtemos
Explanação: a normal equilibra a componente perpendicular do peso.
Passo 5
- Direção paralela ao plano: para o objeto não deslizar, a força de atrito estático disponível deve ser suficiente para equilibrar a componente paralela do peso. Ou seja, precisa ocorrer
Como o máximo que a força de atrito estático pode alcançar é
, a condição necessária e suficiente para que o objeto NÃO deslize é
Substituindo
que encontramos no passo anterior:
Passo 6
Simplificação da desigualdade para obter
(aqui mostro algebra passo a passo e explico cancelamentos):
Na desigualdade
Na desigualdade
podemos dividir ambos os lados por
, desde que
e
, o que é verdade fisicamente. Após dividir, fica
Agora isolamos
dividindo por
(desde que
; para
o problema degeneraria, mas não é o caso usual de um plano inclinado):
Pela identidade trigonométrica,
. Logo
Passo 7
Interpretação final: a desigualdade
significa que o coeficiente de atrito deve ser, no mínimo,
para que o objeto permaneça em repouso. Se quisermos o valor limite (o menor
que ainda garante repouso), igualamos:
Observação amistosa: em português técnico muitas vezes escreve-se
em vez de
; ambas representam a mesma função trigonométrica.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar: se
, então
. Portanto o coeficiente mínimo seria
para evitar que o objeto deslize. Isso ajuda a ver concretamente como o ângulo influencia
: quanto maior
, maior
e maior o atrito necessário.