3.9 Determine o coeficiente de atrito \mu para que um objeto de massa m permaneça em repouso em um plano inclinado por um ângulo \theta. (Resposta: \mu=\operatorname{tg} \theta )

Passo 1

O enunciado pede para determinar o coeficiente de atrito \mu para que um objeto de massa m permaneça em repouso em um plano inclinado que faz um ângulo \theta com a horizontal.
Informações dadas: \,m (massa do objeto), \theta (ângulo de inclinação) e que o objeto deve ficar em repouso sobre o plano.
Objetivo final: encontrar \mu em função de \theta.

Passo 2

Identificamos as forças que atuam no objeto (descrição e definição das variáveis):
  • Peso: \vec{W}=m\vec{g}, direção vertical para baixo. Aqui \,m é a massa e \,g é a aceleração da gravidade (valor numérico típico g\approx9{,}8\\ \text{m/s}^2 se precisar calcular numericamente).
  • Força normal: \vec{N}, perpendicular à superfície do plano inclinado. \,N é o módulo dessa força.
  • Força de atrito estático: \vec{F}_{\text{at}}, tangente à superfície e oposta à tendência de deslizamento. O módulo máximo da força de atrito estático é dado por \,F_{\text{at,max}}=\mu N, onde \mu é o coeficiente de atrito estático (o enunciado usa \mu sem distinguir, então adotamos o caso estático porque o objeto está em repouso).

Passo 3

Decomposição do peso em componentes paralela e perpendicular ao plano (aqui ensino como fazer a decomposição):
Considere o peso m g vertical. Ao projetá-lo nas direções perpendicular e paralela ao plano inclinado, formam-se ângulos iguais a \theta. Por trigonometria num triângulo retângulo associado às componentes:
  • Componente perpendicular ao plano: \,W_\perp = m g \cos\theta. Isto vem do fato de que \cos\theta = \dfrac{W_\perp}{mg}.
  • Componente paralela ao plano (tendência a deslizar para baixo): \,W_\parallel = m g \sin\theta. Isto vem de \sin\theta = \dfrac{W_\parallel}{mg}.
    Esses resultados são padrão ao decompor um vetor peso em um plano inclinado — você pode visualizar a geometria: o cateto adjacente ao ângulo \theta tem comprimento mg\cos\theta e o cateto oposto tem mg\sin\theta.

Passo 4

Escrevendo as condições de equilíbrio (o objeto está em repouso, então resultante das forças é zero nas duas direções):
  • Direção perpendicular ao plano: soma das forças nessa direção deve ser zero, logo
N - m g \cos\theta = 0.
Daí obtemos
N = m g \cos\theta.
Explanação: a normal equilibra a componente perpendicular do peso.

Passo 5

  • Direção paralela ao plano: para o objeto não deslizar, a força de atrito estático disponível deve ser suficiente para equilibrar a componente paralela do peso. Ou seja, precisa ocorrer
F_{\text{at}} \ge W_\parallel = m g \sin\theta.
Como o máximo que a força de atrito estático pode alcançar é \,F_{\text{at,max}}=\mu N, a condição necessária e suficiente para que o objeto NÃO deslize é
\mu N \ge m g \sin\theta.
Substituindo N que encontramos no passo anterior:
\mu (m g \cos\theta) \ge m g \sin\theta.

Passo 6

Simplificação da desigualdade para obter \mu (aqui mostro algebra passo a passo e explico cancelamentos):
Na desigualdade
\mu (m g \cos\theta) \ge m g \sin\theta,
podemos dividir ambos os lados por m g, desde que m>0 e g>0, o que é verdade fisicamente. Após dividir, fica
\mu \cos\theta \ge \sin\theta.
Agora isolamos \mu dividindo por \cos\theta (desde que \cos\theta\neq0; para \theta=90^\circ o problema degeneraria, mas não é o caso usual de um plano inclinado):
\mu \ge \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Pela identidade trigonométrica, \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta. Logo
\mu \ge \tan\theta.

Passo 7

Interpretação final: a desigualdade \mu \ge \tan\theta significa que o coeficiente de atrito deve ser, no mínimo, \tan\theta para que o objeto permaneça em repouso. Se quisermos o valor limite (o menor \mu que ainda garante repouso), igualamos:
\mu = \tan\theta.
Observação amistosa: em português técnico muitas vezes escreve-se \operatorname{tg}\theta em vez de \tan\theta; ambas representam a mesma função trigonométrica.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar: se \theta=30^\circ, então \tan 30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx0{,}577. Portanto o coeficiente mínimo seria \mu\approx0{,}577 para evitar que o objeto deslize. Isso ajuda a ver concretamente como o ângulo influencia \mu: quanto maior \theta, maior \tan\theta e maior o atrito necessário.

Resposta

\mu=\operatorname{tg}\theta

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