Uma partícula se move descrevendo uma trajetória helicoidal em torno do eixo
. Sua posição em função do tempo é dada por:
onde
é o raio da hélice,
é a frequência/velocidade angular do movimento circular uniforme no plano
e
é a velocidade constante na direção do eixo
. (a) Obtenha uma expressão para o vetor posição
da partícula em função de
e
(é o que chamamos de coordenadas/componentes cilíndricas), (b) determine a velocidade
e a aceleração
da partícula em função de
e
, (c) determine o módulo da velocidade total da partícula e (d) esboce a trajetória descrita pela partícula.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
com
,
e
constantes. As perguntas são:
(a) escrever em termos de
e
(componentes cilíndricas);
(b) determinar e
em termos de
;
(c) calcular o módulo da velocidade total;
(d) esboçar/descrever a trajetória.
Informações úteis que já temos: a partícula descreve movimento circular no plano com ângulo
e ao mesmo tempo sobe com velocidade constante
ao longo de
.
(a) escrever
(b) determinar
(c) calcular o módulo da velocidade total;
(d) esboçar/descrever a trajetória.
Informações úteis que já temos: a partícula descreve movimento circular no plano
Passo 2
Vamos lembrar as definições das versores cilíndricos e como eles dependem do ângulo
. Tomando
,
Esses vetores são unitários e ortogonais entre si:
,
. Como
depende do tempo,
e
também variam no tempo; suas derivadas são obtidas diferenciando componente a componente (cadeia):
Essas relações são fundamentais para derivarmos velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Resolver (a): expressar
em
e
. Observe que as componentes
e
dadas são exatamente
e
. Usando a definição de
,
Então a posição em componentes cilíndricas fica simplesmente
Interpretação rápida: o raio radial é constante
, o ângulo é
e a coordenada
cresce linearmente com
.
Passo 4
Resolver (b) — velocidade
. Derivamos
em relação ao tempo. Use a regra do produto para
(aqui
é constante, mas
varia):
Substituindo
,
Comentário didático: a componente no plano
é puramente azimutal (
) com magnitude
— isso é a velocidade tangencial do movimento circular uniforme.
Passo 5
Alternative e verificação (opcional, para fixar): derivando as componentes cartesianas temos
logo o vetor velocidade em
é
, que reescrito nas bases cilíndricas equivale a
, confirmando o resultado do passo anterior.
Passo 6
Resolver (b) — aceleração
. Diferencie
:
Usando
,
Interpretação física: a aceleração é radial, apontando para o eixo (sinal negativo), com magnitude centrípeta
. Não há componente azimutal nem componente
de aceleração porque a velocidade azimutal tem magnitude constante
e a velocidade
é constante.
Passo 7
Resolver (c) — módulo da velocidade total. Como
e
são ortogonais, o quadrado do módulo é soma dos quadrados das componentes:
Portanto
Observação prática: esse resultado é constante no tempo — a partícula tem velocidade escalar constante (movimento retilíneo uniforme composto: circunferência + subida constante).
Passo 8
Resolver (d) — descrição/esboço da trajetória. A equação paramétrica em coordenadas cilíndricas é:
Isto gera uma hélice circular de raio
envolvendo o eixo
, subindo com velocidade
. O espaçamento vertical entre voltas (pitch) é a distância percorrida em
numa volta:
Se
a rotação no plano
é no sentido anti-horário quando vista de cima (
). Para esboçar mentalmente: projete a curva no plano
= círculo de raio
; projetando na vertical
sobre o ângulo
obtemos uma linha reta (porque
é linear em
) — quando você enrola essa reta em torno do círculo obtém a hélice.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Trajetória: hélice de raio em torno do eixo
com passo por volta
(sentido anti-horário para
).
(b)
(c)
(d) Trajetória: hélice de raio