Uma partícula se move descrevendo uma trajetória helicoidal em torno do eixo z. Sua posição em função do tempo é dada por:
\vec{r}(t)=R \cos (\omega t) \hat{x}+R \sin (\omega t) \hat{y}+v t \hat{z},
onde R é o raio da hélice, \omega é a frequência/velocidade angular do movimento circular uniforme no plano x y e v é a velocidade constante na direção do eixo z. (a) Obtenha uma expressão para o vetor posição \vec{r}(t) da partícula em função de \hat{r} e \hat{z} (é o que chamamos de coordenadas/componentes cilíndricas), (b) determine a velocidade \vec{v}(t) e a aceleração \vec{a}(t) da partícula em função de \hat{r}, \hat{\theta} e \hat{z}, (c) determine o módulo da velocidade total da partícula e (d) esboce a trajetória descrita pela partícula.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
\vec{r}(t)=R\cos(\omega t)\,\hat{x}+R\sin(\omega t)\,\hat{y}+v t\,\hat{z},
com R, \omega e v constantes. As perguntas são:
(a) escrever \vec{r}(t) em termos de \hat{r} e \hat{z} (componentes cilíndricas);
(b) determinar \vec{v}(t) e \vec{a}(t) em termos de \hat{r},\hat{\theta},\hat{z};
(c) calcular o módulo da velocidade total;
(d) esboçar/descrever a trajetória.
Informações úteis que já temos: a partícula descreve movimento circular no plano xy com ângulo \theta=\omega t e ao mesmo tempo sobe com velocidade constante v ao longo de z.

Passo 2

Vamos lembrar as definições das versores cilíndricos e como eles dependem do ângulo \theta. Tomando \theta=\omega t,
\hat{r}(\theta)=\cos\theta\,\hat{x}+\sin\theta\,\hat{y},
\hat{\theta}(\theta)=-\sin\theta\,\hat{x}+\cos\theta\,\hat{y}.
Esses vetores são unitários e ortogonais entre si: \hat{r}\cdot\hat{\theta}=0, |\hat{r}|=|\hat{\theta}|=1. Como \theta depende do tempo, \hat{r} e \hat{\theta} também variam no tempo; suas derivadas são obtidas diferenciando componente a componente (cadeia):
\frac{d\hat{r}}{dt}=\dot{\theta}\,\hat{\theta}=\omega\,\hat{\theta},
\frac{d\hat{\theta}}{dt}=-\dot{\theta}\,\hat{r}=-\omega\,\hat{r}.
Essas relações são fundamentais para derivarmos velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Resolver (a): expressar \vec{r}(t) em \hat{r} e \hat{z}. Observe que as componentes x e y dadas são exatamente R\cos\theta e R\sin\theta. Usando a definição de \hat{r},
R\cos(\omega t)\,\hat{x}+R\sin(\omega t)\,\hat{y}=R(\cos\theta\,\hat{x}+\sin\theta\,\hat{y})=R\hat{r}.
Então a posição em componentes cilíndricas fica simplesmente
\boxed{\vec{r}(t)=R\,\hat{r}+v t\,\hat{z}.}
Interpretação rápida: o raio radial é constante R, o ângulo é \theta=\omega t e a coordenada z cresce linearmente com t.

Passo 4

Resolver (b) — velocidade \vec{v}(t). Derivamos \vec r(t)=R\hat r+v t\hat z em relação ao tempo. Use a regra do produto para R\hat r (aqui R é constante, mas \hat r varia):
\vec{v}=\frac{d\vec r}{dt}=R\frac{d\hat r}{dt}+v\hat z.
Substituindo \frac{d\hat r}{dt}=\omega\hat\theta,
\boxed{\vec{v}(t)=R\omega\,\hat{\theta}+v\,\hat{z}.}
Comentário didático: a componente no plano xy é puramente azimutal ( \hat\theta) com magnitude R\omega — isso é a velocidade tangencial do movimento circular uniforme.

Passo 5

Alternative e verificação (opcional, para fixar): derivando as componentes cartesianas temos
\frac{d}{dt}\big(R\cos\omega t\big)=-R\omega\sin\omega t,\quad \frac{d}{dt}\big(R\sin\omega t\big)=R\omega\cos\omega t,
logo o vetor velocidade em \hat{x},\hat{y} é -R\omega\sin\omega t\,\hat{x}+R\omega\cos\omega t\,\hat{y}, que reescrito nas bases cilíndricas equivale a R\omega\hat\theta, confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 6

Resolver (b) — aceleração \vec{a}(t). Diferencie \vec{v}(t)=R\omega\hat{\theta}+v\hat{z}:
\vec{a}=\frac{d\vec v}{dt}=R\omega\frac{d\hat{\theta}}{dt}+0.
Usando \frac{d\hat{\theta}}{dt}=-\omega\hat{r},
\boxed{\vec{a}(t)=-R\omega^{2}\,\hat{r}.}
Interpretação física: a aceleração é radial, apontando para o eixo (sinal negativo), com magnitude centrípeta R\omega^{2}. Não há componente azimutal nem componente z de aceleração porque a velocidade azimutal tem magnitude constante R\omega e a velocidade z é constante.

Passo 7

Resolver (c) — módulo da velocidade total. Como \hat{\theta} e \hat{z} são ortogonais, o quadrado do módulo é soma dos quadrados das componentes:
|\vec{v}|^{2}=(R\omega)^{2}+v^{2}.
Portanto
\boxed{|\vec{v}(t)|=\sqrt{(R\omega)^{2}+v^{2}}.}
Observação prática: esse resultado é constante no tempo — a partícula tem velocidade escalar constante (movimento retilíneo uniforme composto: circunferência + subida constante).

Passo 8

Resolver (d) — descrição/esboço da trajetória. A equação paramétrica em coordenadas cilíndricas é:
r(t)=R,\qquad \theta(t)=\omega t,\qquad z(t)=v t.
Isto gera uma hélice circular de raio R envolvendo o eixo z, subindo com velocidade v. O espaçamento vertical entre voltas (pitch) é a distância percorrida em z numa volta:
T=\frac{2\pi}{\omega}\quad\Rightarrow\quad \Delta z_{\text{por volta}}=vT=\frac{2\pi v}{\omega}.
Se \omega>0 a rotação no plano xy é no sentido anti-horário quando vista de cima ( +z). Para esboçar mentalmente: projete a curva no plano xy = círculo de raio R; projetando na vertical z sobre o ângulo \theta obtemos uma linha reta (porque z é linear em t) — quando você enrola essa reta em torno do círculo obtém a hélice.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{r}(t)=R\,\hat{r}+v t\,\hat{z}.
(b) \displaystyle \vec{v}(t)=R\omega\,\hat{\theta}+v\,\hat{z},\qquad \vec{a}(t)=-R\omega^{2}\,\hat{r}.
(c) \displaystyle |\vec{v}(t)|=\sqrt{(R\omega)^{2}+v^{2}}.
(d) Trajetória: hélice de raio R em torno do eixo z com passo por volta \displaystyle \frac{2\pi v}{\omega} (sentido anti-horário para \omega>0).

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