Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial
Psi(x, 0)= A x, & 0 <= x <= a / 2 A(a-x), & a / 2 <= x <= a
Descubra o valor esperado da energia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula dentro de um poço quadrado infinito, que é uma situação comum na mecânica quântica para entender como partículas se comportam em espaços confinados. A função de onda inicial da partícula é dada por:
Psi(x, 0)= A x, & 0 <= x <= a2 A(a-x), & a2 <= x <= a
Nosso objetivo aqui é descobrir o valor esperado da energia dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções de onda normalizadas, estados próprios de energia e como calcular a energia esperada em sistemas quânticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a constante $ A $ de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula dentro do poço seja 1. Matematicamente, isso é feito garantindo que:
A
Vamos calcular essa integral dividindo em duas partes, de $ 0 $ a $ \frac{a}{2} $ e de $ \frac{a}{2} $ a $ a $:
integral0^a |Psi(x, 0)|^2 dx = 1
Calculando as integrais:
0
Substituindo os limites de integração:
a2
Simplificando:
a2

Passo 3

Agora que temos $ A $, vamos expressar a função de onda inicial $ \Psi(x, 0) $ como uma combinação linear dos estados próprios de energia do poço quadrado infinito. Os estados próprios A são dados por:
Psi(x, 0)
Então, podemos escrever:
psin(x)
Nosso próximo passo é encontrar os coeficientes $ c_n $, que nos dirão como a função de onda inicial se decompõe nos estados de energia.

Passo 4

Para encontrar os coeficientes $ c_n $, usamos a ortonormalidade dos estados próprios:
cn
Substituindo $ \Psi(x, 0) $:
cn = integral0^a Psi(x, 0) psin(x) dx
Dividimos a integral em duas partes:
Psi(x, 0)
Essas integrais podem ser resolvidas utilizando técnicas de integração por partes, mas o importante aqui é que, uma vez calculados os $ c_n $, temos a decomposição completa da função de onda inicial nos estados próprios.

Passo 5

Com os coeficientes $ c_n $ em mãos, o valor esperado da energia $ \langle E \rangle $ é dado por:
cn
Onde $ E_n $ são as energias dos estados próprios:
lang<= E rang<=
Então, substituindo $ E_n $:
lang<= E rang<= = sumn=1^infty |cn|^2 En
Após calcular os $ c_n $ específicos para a função de onda dada, podemos somar os termos para obter o valor esperado da energia.

Resposta

O valor esperado da energia da partícula no poço quadrado infinito é dado por:
lang<= E rang<= = pi^2 hbar^22 m a^2 sumn=1^infty n^2 |cn|^2
Onde os coeficientes $ c_n $ são determinados pela decomposição da função de onda inicial nos estados próprios do sistema.

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