Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial
Descubra o valor esperado da energia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula dentro de um poço quadrado infinito, que é uma situação comum na mecânica quântica para entender como partículas se comportam em espaços confinados. A função de onda inicial da partícula é dada por:
Nosso objetivo aqui é descobrir o valor esperado da energia dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções de onda normalizadas, estados próprios de energia e como calcular a energia esperada em sistemas quânticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a constante $ A $ de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula dentro do poço seja 1. Matematicamente, isso é feito garantindo que:
Vamos calcular essa integral dividindo em duas partes, de $ 0 $ a $ \frac{a}{2} $ e de $ \frac{a}{2} $ a $ a $:
Calculando as integrais:
Substituindo os limites de integração:
a2
Simplificando:
a2
Passo 3
Agora que temos $ A $, vamos expressar a função de onda inicial $ \Psi(x, 0) $ como uma combinação linear dos estados próprios de energia do poço quadrado infinito. Os estados próprios A são dados por:
Psi(x, 0)
Então, podemos escrever:
psin(x)
Nosso próximo passo é encontrar os coeficientes $ c_n $, que nos dirão como a função de onda inicial se decompõe nos estados de energia.
Passo 4
Para encontrar os coeficientes $ c_n $, usamos a ortonormalidade dos estados próprios:
cn
Substituindo $ \Psi(x, 0) $:
cn = integral0^a Psi(x, 0) psin(x) dx
Dividimos a integral em duas partes:
Psi(x, 0)
Essas integrais podem ser resolvidas utilizando técnicas de integração por partes, mas o importante aqui é que, uma vez calculados os $ c_n $, temos a decomposição completa da função de onda inicial nos estados próprios.
Passo 5
Com os coeficientes $ c_n $ em mãos, o valor esperado da energia $ \langle E \rangle $ é dado por:
cn
Onde $ E_n $ são as energias dos estados próprios:
lang<= E rang<=
Então, substituindo $ E_n $:
lang<= E rang<= = sumn=1^infty |cn|^2 En
Após calcular os $ c_n $ específicos para a função de onda dada, podemos somar os termos para obter o valor esperado da energia.
Resposta
O valor esperado da energia da partícula no poço quadrado infinito é dado por:
lang<= E rang<= = pi^2 hbar^22 m a^2 sumn=1^infty n^2 |cn|^2
Onde os coeficientes $ c_n $ são determinados pela decomposição da função de onda inicial nos estados próprios do sistema.